Categorical study for representations of finite groups

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バルマー氏、デランブロジオ氏は、2020年に出版した書籍で、マッキー2関手とマッキー2モチーフの理論を紹介した。マッキー2関手と呼ばれるある種の対応をMとおくとき、有限群 G に対応するアーベル圏M(G)を分解するための一つの道具として導入されたものがマッキー2モチーフである。すなわち、M(G) の分解が、マッキー2モチーフとみなしたGの分解からすべて誘導されるというものである。このとき、マッキー2モチーフGの分解を制御する道具が、吉田氏が導入し、吉田氏と研究代表者が研究対象として扱ってきた「斜バーンサイド環 (crossed Burnside ring) 」であるという定理が、バルマー氏、デランブロジオ氏の手になる先述の書籍の主結果のひとつである。さらに、彼らは、2022年にコホモロジカルマッキー2-関手とコホモロジカルマッキー2モチーフを導入した。新たな理論では、コホモロジカルマッキー2モチーフ G の分解を制御する道具が、Gの群環であることが指摘された。本研究では、それらの分解において零化される斜バーンサイド環や群環のべき等元の特徴付けに関する問題解決に取り組んだ。吉田氏と研究代表者や、ブック氏による斜バーンサイド環のべき等元に関する書結果を応用することで、さまざまな環上で結果が得られている。本研究の結果は、バルマー氏、デランブロジオ氏の結果の精密化とみなすことができる。これらの結果の一部を2022年12月に京都大学数理解析研究所で行われたRIMS共同研究「「有限群論、代数的組合せ論、頂点代数の研究」で講演した。