代数的符号理論と格子、組合せデザイン、および量子符号への応用

代数码理论及其在格子、组合设计和量子码中的应用

基本信息

批准号：
14740060
负责人：
原田昌晃
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Yamagata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本年は、3年計画の本研究課題の最終年に当たることより昨年度までの研究を続行していくだけでなく、総括的な研究も行なった。1.直交デザインと自己双対符号の研究:まず、昨年度幾つかの進展があった、直交デザインと自己双対符号の研究を進めて行った。長さ72の極値的重偶自己双対符号の存在はまだ分かっていない。代数的符号理論における有名な未解決問題の一つである。この符号が存在すれば直交5-(72,16,78)デザインが存在することが分かっていたが、逆も正しいことが昨年度に示すことが出来た。長さが24の倍数は長さ24と48を除いては極値的重偶自己双対符号の存在はまだ一切分かっていない。今年度は、長さ96の極値的重偶自己双対符号が存在すれば自己直交5-(96,20,816)デザインが存在するが、長さ72のときと同様に逆も正しいことが証明できた。今度の課題としては、これらのデザインの存在性を決めることが挙げられるがこれは困難な課題だと思われる。長さが24の倍数でない場合についても研究を進めた。特に、長さ56の場合、多くの新たな極値的重偶自己双対符号の構成に成功し、新しい自己直交3-(56,12,65)デザインの構成を行なった。直交デザインと自己双対符号については総括的な研究も行なった。2.直交デザインから得られる自己双対符号:24次元の偶ユニモジュラー格子のなかでリーチ格子のみが最小ノルム4を持ち、非常に有名な格子の一つである。位数12の直交デザインを用いて、リーチ格子を構成するような位数pの有限体上の自己双対符号の構成を行なった。また、同様に、最小重さが最大となるMDS自己双対符号の構成も直交デザインを用いて行なった。これらから、有限体上の自己双対符号の構成に、直交デザインは有益であることが分かった。

今年，作为三年计划中本研究主题的最后一年，我们不仅继续研究到去年，而且还进行了全面的研究。 1。关于正交设计和自偶代码的研究：首先，我们对正交设计和自偶代码进行了研究，这些代码在去年取得了一些进展。尚不清楚72号长度的极端，重型，甚至是自我双重代码的存在。它是代数代码理论中著名的未解决问题之一。众所周知，该代码的存在将具有正交的5-（72,16,78）设计，但也有可能表明去年的逆转是正确的。除长度为24和48外，尚不清楚极端重脉冲的自我双重代码。今年，如果有一个极端，重型，甚至是96的长度为96的代码，则将有一个自我实施的5-（96，20，816）设计，但是与长度为72一样，相反的长度可以正确。下一个挑战可以确定存在，但这似乎是一项艰巨的任务。当长度不是24个的倍数时，还进行了研究。特别是，对于56个长度，成功构建了许多新的极端价值，重型，什至是自动划分的代码，并且构建了新的自动性3--（56，12，65）设计。还针对正交设计和自偶代码进行了全面的研究。 2。从正交设计获得的自塑形代码：在24维的单型晶格中，只有到达晶格具有最小的Norm 4，使其成为非常著名的晶格之一。使用订单12的正交设计，构建了有限顺序P上的自偶代码，以形成触及晶格。同样，还使用正交设计构建了具有最大最小重量的MDS自动划分代码。从这些情况下，已经发现正交设计对有限领域的自动偶联代码有益。