有限環上の代数的符号理論と格子および組合せデザインとの関係について

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本研究では、有限環上の代数的符号理論(特に、自己双対符号)とユニモジュラ格子および組合せデザインの関係についての研究を行なった。昨年度に引続き、位数2の有限体GF(2)上の長さ50の自己双対符号を考えることにより新しい擬対称2-(49,9,6)デザインの構成について考えた。自己同型の性質を用いて、かなりの数の新しい極値的自己双対符号と擬対称2-(49,9,6)デザインが構成出来た。このように多くの例の存在が知られているパラメータは他には今のところない。デザインの構成に符号が非常に役に立った例だと思われる。新しいユニモジュラ格子を構成したり良く知られているユニモジュラ格子の性質を調べることを動機として、あらゆるタイプの自己双対符号についての研究も行なった。一番の大きな進展は、位数3の有限体GF(3)上の自己双対符号からユニモジュラ格子を構成する方法を格子のshadowの理論を用いて調べあげた。特に、符号の最小重さと格子の最小ノルムの関係、偶格子になる条件、どのような自己双対符号が良い格子を構成するか、などについてまとめた。また、44次元、60次元、68次元において、初めて極値的ユニモジュラ格子を構成することが出来た。ユニモジュラ格子の構成を目的としてZ_<2k>上の極値的自己双対符号の構成も行なった。特に、Z_4、Z_6上の極値的自己双対符号についての研究を行ない、例えば、46次元、47次元の極値的ユニモジュラ格子を初めて構成することに成功した。