粘性流体の数学的理論

粘性流体数学理论

• 批准号: 03F00021
• 负责人: 小薗 英雄
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03F00021/
• 关键词: ナビエ・ストークス方程式; 熱伝導方程式; 弱解の正則性; 除去可能特異点; ローレンツ空間; 補間不等式; 基本解; 最大正則性定理

非線形偏微分方程式論の最重要課題は弱解の正則性の問題であろう.特に弱解の一意性が得られていない方程式に関しては,正則である解のクラスを確定することが問題となる.微分作用素は変数について局所的に定義されるものであるから,関数uが考える領域のある点の周りで微分方程式を満たしていれば,その点のごく小さい近傍でuの正則性が得られることが期待される.微分方程式の解がこのような性質をもつとき,内部正則性が成り立つという.例えば,Laplace方程式,より一般には係数が有界である線形楕円型方程式に関しては,任意の弱解について内部正則性が成り立つ.Navier-Stokes方程式の弱解に関しては内部正則性の問題は極めて難解である.実際,方程式が非線形連立系であることに加えて,ひとつの未知関数である圧力が主要な未知関数である速度場の自乗について領域全体の積分で表示されることが大きな障害となっている.従って,たとえ弱解の特異点近傍の挙動を制御しても,その特異点が除去可能かどうかは,方程式を満たす領域の大域的性質をも考慮しなくてならない複雑な問題となる.本研究では,2/s+3/r=1,3【less than or equal】r<∞を満たすs,rに対して,正定数ε_0が存在して,任意の領域Ω×(0,T)におけるNavier-Stokes方程式の弱解uが条件‖u‖_<L^s_W(t_0,t_1;L^r_W(D))>【less than or equal】ε_0を満すならば,uはD×(t_0,t_1)において正則であることを証明した.ただし,D⊂⊂Ω⊂R^3,0<t_0<t_1<T,L^r_Wは弱L^r-空間を表す.ここで,弱解uに対しては,いかなる境界条件も課す必要がないことに注意されたい.この結果により,既存の除去可能特異点定理を一般化することに成功した.証明方法は領域Ωの近傍に台を持つ切り落とし関数を用いて,問題を全空間R^3における方程式に帰着させる.その際,低階の摂動項をもつ熱伝導方程式の解に対する最大正則性定理が重要な役割を演ずる.

The non-linear partial differential equation deals with the most important problem, the weak solution, the positive problem, and the problem. In order to solve the problem, you have to know how to solve the problem. The number of differential agents is different from the definition of the local system, the number of differential equations, the number of differential equations. The differential equation is used to solve the differential equation, and the internal positive equation is independent. For example, the Laplace equation, the general equation, the bounded equation, the equation. In the world, the equation is related to the number of non-linear systems, the number of forces, the number of forces. In order to solve the problem, we need to solve the problem that the special point is close to the control system, the special point removes the possible error, and the equation has a wide range of properties. In this study, there is a weak solution to the Navier-Stokes equation in any domain Ω × (0m T), where there is a weak solution to the Navier-Stokes equation. The weak solution of the Navier-Stokes equation is a weak solution of the equation u and lt; LW (tachy0Quentin 1; L r ^ W (D)) & gt. [less than or equal] ε _ 0 has a lot of trouble, u ~ D × (t _ 0 _ 4 ~ 2 ~ 1), I want to know the truth. The weak L ^ r space table is weak in L ^ r _ W. We should pay attention to the necessary conditions of the boundary. The results show that the existing theorem of removing possible special points is successful. It is clear that in the field of Ω, near the platform, the number of passengers is used, and the whole space R ^ 3 equation is affected by the equation. The solution of the equation is the solution of the maximum positivity Theorem.

项目成果

Kozono, H., Ogawa, T., Taniuchi, Y.: "Navier-Stokes equations in the Beson space near L^∞ and BMO"Kyushu J.Math. 57. 303-324 (2003)

Kozono, H.、Okawa, T.、Taniuchi, Y.：“L^∞ 和 BMO 附近 Beson 空间中的纳维-斯托克斯方程”Kyushu J.Math 57. 303-324 (2003)

Kozono, H.: "Remark on the paper by S.Dubois "mild solutions to the Navier-Stokes equations and energy equality"Differential and Integral Equations. 16. 583-585 (2003)

Kozono, H.：“对 S.Dubois 论文“纳维-斯托克斯方程和能量等式的温和解”的评论”微分方程和积分方程。16. 583-585 (2003)

Kozono, H., Yatsu, N.: "Extension criterion via two-components of vorticity on strong solutions to the 3D Navier-Stokes equations"Math.Z.. 246. 55-68 (2004)

Kozono, H.、Yatsu, N.：“通过涡量的两个分量对 3D 纳维-斯托克斯方程的强解进行扩展准则”Math.Z.. 246. 55-68 (2004)

Choe, H., Kim, H.: "Global existence of the radial symmetric solutions of the Navier-Stokes equations for the isentropic compressible fluids"Math.Method Appl.Sci.. (to appear). (2004)

Choe, H.、Kim, H.：“等熵可压缩流体的纳维-斯托克斯方程的径向对称解的整体存在性”Math.Method Appl.Sci..（待出版）。