粘性流体の数学的理論

粘性流体数学理论

• 批准号: 03F00021
• 负责人: 小薗 英雄
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03F00021/
• 关键词: ナビエ・ストークス方程式; 熱伝導方程式; 弱解の正則性; 除去可能特異点; ローレンツ空間; 補間不等式; 基本解; 最大正則性定理

非線形偏微分方程式論の最重要課題は弱解の正則性の問題であろう.特に弱解の一意性が得られていない方程式に関しては,正則である解のクラスを確定することが問題となる.微分作用素は変数について局所的に定義されるものであるから,関数uが考える領域のある点の周りで微分方程式を満たしていれば,その点のごく小さい近傍でuの正則性が得られることが期待される.微分方程式の解がこのような性質をもつとき,内部正則性が成り立つという.例えば,Laplace方程式,より一般には係数が有界である線形楕円型方程式に関しては,任意の弱解について内部正則性が成り立つ.Navier-Stokes方程式の弱解に関しては内部正則性の問題は極めて難解である.実際,方程式が非線形連立系であることに加えて,ひとつの未知関数である圧力が主要な未知関数である速度場の自乗について領域全体の積分で表示されることが大きな障害となっている.従って,たとえ弱解の特異点近傍の挙動を制御しても,その特異点が除去可能かどうかは,方程式を満たす領域の大域的性質をも考慮しなくてならない複雑な問題となる.本研究では,2/s+3/r=1,3【less than or equal】r<∞を満たすs,rに対して,正定数ε_0が存在して,任意の領域Ω×(0,T)におけるNavier-Stokes方程式の弱解uが条件‖u‖_<L^s_W(t_0,t_1;L^r_W(D))>【less than or equal】ε_0を満すならば,uはD×(t_0,t_1)において正則であることを証明した.ただし,D⊂⊂Ω⊂R^3,0<t_0<t_1<T,L^r_Wは弱L^r-空間を表す.ここで,弱解uに対しては,いかなる境界条件も課す必要がないことに注意されたい.この結果により,既存の除去可能特異点定理を一般化することに成功した.証明方法は領域Ωの近傍に台を持つ切り落とし関数を用いて,問題を全空間R^3における方程式に帰着させる.その際,低階の摂動項をもつ熱伝導方程式の解に対する最大正則性定理が重要な役割を演ずる.

The most important problem in the theory of nonlinear partial differential equations is the problem of regularity of weak solutions. In particular, the weak solution of the problem is determined by the equation, and the regular solution is determined by the equation. The differential action element is defined by the number of points in the differential equation, and the regularity of the differential equation is obtained by the number of points in the differential equation. The solution of differential equations has the property of, and the internal regularity has the property of. For example,Laplace equation, general inverse coefficient is bounded, linear inverse equation is related, arbitrary weak solution is related to internal regularity.Navier-Stokes equation is related to weak solution is related to internal regularity problem. In fact, the equation for a non-linear continuous system is expressed by the integral of the whole domain of the velocity field with respect to the main unknown relations. The weak solution is controlled by the motion near the singular point, and the singular point is eliminated by the property of the large domain of the equation. In this paper, we prove that the existence of positive definite number ε_0 exists in any domain Ω×(0,T) under the condition u_<L^s_W(t_0,t_1;L^r_W(D))>[less than or equal] ε_0 exists in any domain Ω×(0,T). D Ω R^3,0<t_0<t_1<T,L^r_W L^r-space The weak solution is necessary for the boundary condition. The result is that the existing theorem of eliminating possible singular points is generalized successfully. The proof method is to solve the problem in the whole space R^3 by using the equation of the domain Ω and the near platform. In this case, the maximum regularity theorem for the solution of thermal conduction equations is important for the evolution of thermal conduction equations.

项目成果

Kozono, H., Ogawa, T., Taniuchi, Y.: "Navier-Stokes equations in the Beson space near L^∞ and BMO"Kyushu J.Math. 57. 303-324 (2003)

Kozono, H.、Okawa, T.、Taniuchi, Y.：“L^∞ 和 BMO 附近 Beson 空间中的纳维-斯托克斯方程”Kyushu J.Math 57. 303-324 (2003)

Kozono, H.: "Remark on the paper by S.Dubois "mild solutions to the Navier-Stokes equations and energy equality"Differential and Integral Equations. 16. 583-585 (2003)

Kozono, H.：“对 S.Dubois 论文“纳维-斯托克斯方程和能量等式的温和解”的评论”微分方程和积分方程。16. 583-585 (2003)

Kozono, H., Yatsu, N.: "Extension criterion via two-components of vorticity on strong solutions to the 3D Navier-Stokes equations"Math.Z.. 246. 55-68 (2004)

Kozono, H.、Yatsu, N.：“通过涡量的两个分量对 3D 纳维-斯托克斯方程的强解进行扩展准则”Math.Z.. 246. 55-68 (2004)

Choe, H., Kim, H.: "Global existence of the radial symmetric solutions of the Navier-Stokes equations for the isentropic compressible fluids"Math.Method Appl.Sci.. (to appear). (2004)

Choe, H.、Kim, H.：“等熵可压缩流体的纳维-斯托克斯方程的径向对称解的整体存在性”Math.Method Appl.Sci..（待出版）。