粘性流体の数学的理論

粘性流体数学理论

• 批准号: 03F03021
• 负责人: 小薗 英雄
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03F03021/
• 关键词: 渦度の方程式; Navier-Stokes方程式; Lorentz空間; 調和解析学; 放物型方程式; 半群; 双線形評価式; 弱解の正則性

弱L^r空間におけるNavier-Stokes方程式の弱解の内部正則性ΩをR3の任意の開集合とし,時空間Ω×(0,T)におけるNavier-Stokes方程式の弱解u∈L^∞(0,T;L2(Ω))の内部正則性を考察した.ここでuに関してはΩの境界∂Ωにおけるいかなる仮定も課していないことが重要である.これまでNavier-Stokes方程式の弱解の内部正則性定理は,多くの場合u∈L^2(0,T;H^1_0(Ω)),D×(a,b)におけるある種の付加条件のもとで,同部分領域におけるuの滑らかさを導出していた.このように対象となる領域の境界値を指定して,弱解の内部正則性を導くことは,通常の非線形楕円型,放物型に対するものとは異なるが,Navier-Stokes方程式の場合,いまひとつの未知関数p(圧力)の制御のためにやむを得なかった.そこで,本研究ではSerrinの提唱した渦ω=rotu度の方程式に着目して,uの境界条件を取り除くことに成功した.実際,ある正定数ε_0が存在して‖u‖_<L^s_w>(0,T;L^r_w(Ω))【less than or equal】εならば,u∈L^∞(D×(a,b))であることが明らかにされた.ここに,r,sは条件2/s+3/r=1,3【less than or equal】s【less than or equal】∞を満たし,L^r_wは弱L^r-空間を表す.応用として,弱解の孤立特異点の除去可能性定理が得られる.すなわち,(x_0,t_0)∈Ω×(0,T)を中心とする放物型球Q_R(x_0,t_0)={(x,t);|x-x_0|<R,t-R2<t<t_0}において|u(x,t)|【less than or equal】ε_0|t-t_0|^<θ/2>|x-x_0|^<-1+θ>,0【less than or equal】θ<1であれば,u∈L^∞(Q_R(x_0,t_0)が従う.

Weak L ^ r space に お け る Navier - Stokes equations の の weak solution to the internal regularity Ω を R3 の の open any collection と し, when space Ω x (0, T) に お け る Navier - Stokes equations の weak solution u ∈ L ^ up (0, T; L2 (Ω) の internal regularity を investigation し た. こ こ で u に masato し て は Ω の realm partial Ω に お け る い か な る 仮 lesson set も し て い な い こ と が important で あ る. こ れ ま で Navier - Stokes equations の は の weak solution to the internal regularity theorem, more く の occasions u ∈ L ^ 2 (0, T; H ^ 1 _0 (Ω)), D * (a, b) に お け る あ る kind of pay and conditions の の も と で, with some areas に お け る u の slide ら か さ を export し て い た. こ の よ う に like と seaborne な の る field boundary numerical を specified し て, weak solution の internal regularity を guide く こ と は, usually の nonlinear 楕 has drifted back towards &yen; type, put content type に す seaborne る も の と は different な る が, Navier - Stokes equations の occasions, い ま ひ と つ unknown の masato p (pressure) の suppression の た め に や む を have な か っ た. そ こ で, this study で は Serrin の mention sing し た vortex omega = rotu degrees に の equations with mesh し て, u take り を の boundary conditions except く こ と に successful し た. In reality, the ある positive definite ε_0が exists in the form of <s:1> て‖u‖_<L^s_w>(0,T; L ^ r_w (Ω)) (less than or equal 】 epsilon な ら ば, u ∈ L ^ up x (a, b) (D) で あ る こ と が Ming ら か に さ れ た. こ こ に, r, s は condition 2 + 3 / s/r = 1, 3 (less than or equal] s [less than or equal】∞を fills た た,L^r_w た weak L^ r-space を table す. 応 with と し て, weak solution の isolate specific point の remove possibility theorem が have ら れ る. す な わ ち, (x_0, t_0) ∈ Ω x (0, T) を center と す る put content type ball Q_R (x_0, t_0) = {(x, T); | x - x_0 | < R, t - R2 < t < t_0} に お い て | u (x, t) | (less than or equal 】 epsilon _0 | t - t_0 | ^ 2 > < theta / | x - x_0 | ^ + theta > < - 1, 0 (less than or equal】θ<1であれば,u∈L^∞(Q_R(x_0,t_0)が従う.