Mathematical Theory of Partial Differential Equations in Fluid Mechanics

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3次元Euclid 空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域上において，L^r-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira 型分解定理を考察した．ベクトル場の境界条件は，境界に接するものと直交するものの2種類である．まず最初に，これらの境界条件を満たす調和ベクトル場の空間が，共に有限次元であることを示した．この事実は扱う領域が非有界であることから，通常の楕円型偏微分方程式系境界値問題に付随する核空間の有限次元性から従うものではない．ここでは，ベクトル場がL^r という弱い意味で無限遠方で減衰することに注目し，ある種のコンパクト性が回復されることを示すことによって，有限次元性が従うことを証明した．更に，外部領域の境界の位相幾何学的不変量に着目してL^r調和ベクトル場の次元を特徴付けた．実際，内部領域における第１及び第２Betti数に相当する概念を導入し，ベクトル場が境界の接ベクトルと平行の場合は，第２Betti数がL^r調和ベクトル場の次元と一致し，1<r<∞に依存しないことを示した．一方．ベクトル場が境界の法線ベクトルと平行の場合，つまり接ベクトルと直交するという境界条件下では，3/2< r のときL^r調和ベクトル場の次元は，第１Betti数と一致するが，1< r ≦3/2のときは，それよりも1次元程少なくないことを証明した．これは，de Rham-Hodge-Kodaira 型分解定理におけるスカラーポテンシャルの決定が，Poission方程式の外部Dirichlet問題を一階偏導関数がL^r-可積分というクラスで論じるとき，r=3/2を閾値として可解性が大きく異なることに起因していることを明らかにした．