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Mathematical Theory of Partial Differential Equations in Fluid Mechanics

流体力学偏微分方程的数学理论

基本信息

批准号：
21H04433
负责人：
小薗英雄
金额：
$ 26.46万
依托单位：
Waseda University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-05 至 2026-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21H04433/
关键词：
ナビエ・ストークス方程式オイラー方程式最大正則性定理エネルギー保存則流れの安定性調和ベクトル場オンサーガー予想最大正則定理 Hodge分解 Betti数外部Dirichlet問題ヘルムホルツ・ワイル分解最大正則性非粘性極限

项目摘要

3次元Euclid 空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域上において，L^r-ベクトル場のde Rham-Hodge-Kodaira 型分解定理を考察した．ベクトル場の境界条件は，境界に接するものと直交するものの2種類である．まず最初に，これらの境界条件を満たす調和ベクトル場の空間が，共に有限次元であることを示した．この事実は扱う領域が非有界であることから，通常の楕円型偏微分方程式系境界値問題に付随する核空間の有限次元性から従うものではない．ここでは，ベクトル場がL^r という弱い意味で無限遠方で減衰することに注目し，ある種のコンパクト性が回復されることを示すことによって，有限次元性が従うことを証明した．更に，外部領域の境界の位相幾何学的不変量に着目してL^r調和ベクトル場の次元を特徴付けた．実際，内部領域における第１及び第２Betti数に相当する概念を導入し，ベクトル場が境界の接ベクトルと平行の場合は，第２Betti数がL^r調和ベクトル場の次元と一致し，1<r<∞に依存しないことを示した．一方．ベクトル場が境界の法線ベクトルと平行の場合，つまり接ベクトルと直交するという境界条件下では，3/2< r のときL^r調和ベクトル場の次元は，第１Betti数と一致するが，1< r ≦3/2のときは，それよりも1次元程少なくないことを証明した．これは，de Rham-Hodge-Kodaira 型分解定理におけるスカラーポテンシャルの決定が，Poission方程式の外部Dirichlet問題を一階偏導関数がL^r-可積分というクラスで論じるとき，r=3/2を閾値として可解性が大きく異なることに起因していることを明らかにした．

の slide 3 dimensional Euclid space らかなコンパクトな surface を realm に hold つ external field において, L ^ r - ベクトルの DE Rham - Hodge - Kodaira decomposition theorem を investigation した. Youdaoplaceholder0, ト, ト, ト field <s:1> boundary conditions ベ, boundary に connected to する, <s:1> と direct intersection する, ベ, etc. Type 2 である. まずに, initial これらをの boundary conditions against たす harmonic ベクトルがの space, a total of に finite dimensional であることを shown した. この things be は Cha がう field not bounded であることから, usually の楕 type has drifted back towards ¥ partial differential equations on system state numerical problem に pay with する nuclear space の finite dimensional sex から従うものではない. ここでは, ベクトル field が L ^ r という weak い mean で infinite distance で damping することに attention し, ある kind のコンパクト sex が reply されることを shown すことによって, finite dimensional sex が従うことを prove した. Further, に, the invariant of external domain <s:1> realm <e:1> phase geometry に target <s:1> てL^r harmonic ベトトベ field <s:1> dimension を feature けた. Be international and internal field における 1 and 2 び betti number に quite すを import しる concept, ベクトが realm のル field meet ベクトルと parallel はの situations, betti number が L ^ 2 r harmonic ベクトル field の dimensional とし, 1 < < r up に dependent しないことを shown した. One party. ベクトル field が realm の normals ベクトルと parallel の occasions, つまり meet ベクトルと rectangular するという boundary conditions では, 3/2 < r のとき L ^ r harmonic ベクトル field の dimensional は, betti number 1 と consistent するが, 1 < r ≦ 3/2 のときは, Youdaoplaceholder0 それよ 1. Cheng Shao of 1 dimension なくなとをとを proved that たた. これは, DE Rham Hodge - type Kodaira decomposition theorem におけるスカラーポテンシャルのが decision, Poission equation is の external Dirichlet problems を number of first order partial derivative masato が L ^ r - can be integral というクラスで theory じるとき, R = 3/2 を threshold numerical として solvability が big きく different なることに cause していることを Ming らかにした.