Dブレーンの幾何学的研究

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超曲面の上のCohen-Macaulay加群の自由分解には周期2の周期的な複体が現われるが,自由加群の基底を選んでこの複体の微分を行列で表したものを行列因子化という.これはEisenbudの1980年の論文に起源を持つが,Kontsevichの提案に基づき,Kapustin,Li,堀,Walcherなどの弦の理論家によってLandau-Ginzburg模型のB型Dブレーンの研究に使われるようになって新たに注目を浴びることになった.行列因子化の全体は三角圏をなすが,この三角圏の数学的に正確な定式化がOrlovや高橋らによってなされ,梶浦-齋藤-高橋によって単純特異点の場合にこの圏が対応するDynkin図形の辺に適当な向きを入れた箙の表現の導来圏と一致することが証明された.Orlovは三角圏の半直交分解の理論を用いて,重み付き斉次多項式で定義されるアファイン空間の超曲面上の行列因子化のなす三角圏と,対応する重み付き射影空間の超曲面の上の連接層の導来圏の関係を明らかにしたが,筆者はこのOrlovの結果とGeigle-Lenzingによる重み付き射影直線の理論を使って,上の梶浦-齋藤-高橋の結果の,単純特異点の上のCohen-Macaulay加群の分類を用いない別証を与えるとともに,単純楕円型超曲面特異点に関しても,構造がよく分かっているGeigle-Lenzingの意味での重み付き射影直線の上の連接層の導来圏との同値性をOrlovの技法を使って証明することによって行列因子化のなす圏のある箙の表現の導来圏としての表示を与えた.また,Fermat型の定義方程式を持つ特異点に対し,Orlovの半直交分解を少し変更したものを用いることによって,行列因子化のなす三角圏の構造の上とは異なる記述を与えた.