ミラー対称性と三角圏

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トーラス上の2部グラフから関係式付き箙を作るアルゴリズムが理論物理学者のHananyらによって4次元の超対称ゲージ理論の研究の過程で提案され、この関係式付き箙の次元ベクトルが(1,...,1)の表現のモジュライ空間が、一般の安定性に対してはもとの2部グラフのKasteleyn行列式のNewton多角形から定まる3次元のアファイントーリック多様体のクレパントな特異点解消になるということが期待されていたが、筆者は広島大学の石井亮氏と共同でこの問題に取り組み、もとの2部グラフがある弱い条件を満たせば、対応する関係付き箙のモジュライ空間が一般の安定性に対しては滑らかなトーリック多様体になり、その上にどこでも消えない正則体積形式が存在し、しかもその上のトーラス不変な因子ともとの2部グラフの完全マッチングが対応することを示すことによって、この問題に対する一定の解答を与えた。また、神戸大学の吉永正彦氏と共同で、射影空間上の因子に沿った対数的ベクトル場の研究も行った。特に射影平面内の滑らかな3次曲線に対しては、それに沿った対数的ベクトル場のなす層の跳躍直線の集合が、双対射影平面内のCayley曲線と呼ばれる古典的な対象と一致することを示し、この事実と対数的ベクトル場のなす層の他の3次曲線への制限に関する考察を組み合わせることによって、この場合にDolgachev-Kapranovの意味でのTorelli問題を完全に解決した。