スペシャルラグランジアンと深谷圏

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今年度は主に錐型特異点をもつカラビ・ヤウ多様体の性質を調べた。ここでカラビ・ヤウ多様体はコンパクトで、さらにリッチ曲率零のケーラー計量があって、錐型特異点において然るべき漸近挙動をもつものとする。まず、特異点がない場合の性質を思い出そう。この場合、カラビ・ヤウ多様体は有限被覆を取ると、ドラーム分解され、特にホロノミーがSUの部分は射影代数多様体になる。特異点がある場合、接錐が平坦でなければ、ホロノミーはSUかSpで、したがってカラビ・ヤウ多様体も同じホロノミーをもつ。この状況でも、ホロノミーがSUの場合は射影代数多様体になることを証明した。証明方法は特異点がない場合と同じだが、特異点があるぶん複雑になる。まず、特異点を外して、非コンパクトな多様体の重み付きソボレフ空間を使う。そこで調和積分論をして、ボホナー型消滅定理を証明する。最後に、Grauertの埋め込み定理（小平の定理の解析空間版）を使えば証明が終わる。次に錐型特異点をもつカラビ・ヤウ多様体の変形を調べる。特異点がない場合、カラビ・ヤウ多様体の複素構造の変形の障害は無い（Bogomolov--Tian--Todorovの定理）。同じ様に、特異点がある場合も、複素構造の変形の障害は無いことが証明できる。Bogomolov--Tian--Todorovの定理の証明を思い出そう。ひとつの証明は代数幾何のT1リフトを使う。特異点がない場合は、（普通の）調和積分論により、ドルボーコホモロジーのスペクトル系列が退化することが直ぐ分かり、そのことからT1リフトが作れる。特異点がある場合は、調和積分論が複雑になるが、それでも同じことができる。もうひとつ、微分幾何の証明もある。特異点がない場合は、後藤の一般論がある（カラビ・ヤウ、HyperKahler、G2、Spin(7)の変形理論を含む）。これも、特異点がある場合に一般化できる。