ユニタリ群上の保型形式の数論的研究:分岐理論と大域的応用

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1.本研究の目的は、ユニタリ群上の保型形式のフーリエ成分の数論的性質を表現論的手法を使って調べることである。即ち、調べるべき保型形式が生成する表現のホイタッカー模型の研究である。数論研究には、精緻な局所理論の研究が不可欠であるが、これは無限素点上の局所理論と有限分岐素点上のそれに分けられる。前者即ち、実Lie群U(2,1)の一般化ホイタッカー関数の明示公式及びそのゼータ積分は、既に筆者により研究されていた。後者については、p-進群U(3)の任意のgeneric表現に対して、p-進ホイタッカー関数の明示公式を経由しないゼータ積分の研究が、昨年度の成果として報告されている。本年度の研究計画は、(A)明示公式のp-進アナログの構成(B)上記の数論・分岐理論への自然な応用であった。2.(A)については、準分裂U(3)のSteinberg表現の明示項式及びそのゼータ積分による標準L-関数の分岐局所因子は、既に得られている。(B)については、ゼータ積分の局所関数等式からp-進γ-因子を同定すべく、井草局所ゼータに関連付けることで、切断のintertwinerによる像の研究を行った。これらについて、2005年12月上智大学、2006年1月数理解析研究所、2006年2月九州大学に於いて、現行方法の問題点と残された場合への拡張について近隣分野の研究者と討議した。3.将来に残された課題として、"分岐の導手"の研究がある。これについては、現在depth 0表現の場合に、有限Lie群の表現に帰着して研究する計画が進められている。