非可換機何学における概正則曲線の研究

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ヒルベルト空間の開集合上におけるキャパシティー不変量は、ククシンによって定式化されており、それらは物理的に重要な非線形偏微分方程式の解空間の解析に応用された。無限次元シンプレクティック多様体上でのキャパシティー不変量は、これまでの研究で定式化が成功しており、無限トーラスや無限射影空間上での計算や安定性の研究を行っていた。KDV方程式の解空間は、ラックス表示と呼ばれる作用素の間のある関係式を通じて、無限次元グラスマン多様体上のフロウとして与えられることが知られていた。一方で、微分幾何学の立場からは、グラスマン多様体上にはフビニスタディ計量と呼ばれる、自然なケーラー計量が存在し、それによりKDVフロウをシンプレクティック幾何学の立場から研究することは自然なことといえる。研究の初期の段階では、KDVフロウやKPフロウはそのケーラー形式を保つであろうと思われていた。しかし、実際調べた結果、フロウのリー微分がそのケーラー計量を保つことが分かった。さらにそのことを用いて、キャパシティーをフロウのパラメーターについて形式的に微分することによりある微分方程式を得た。そこではキャパシティーの可微分性を仮定しているが、その仮定のもとに、無限次元グラスマン多様体のキャパシティーは無限大であることが帰結される。現在では、有限次元グラスマン多様体上のキャパシティーに関する結果から、無限次元の場合のグラスマン多様体上のその値は有限であることが予想されており、それからキャパシティーの微分可能性が破綻するような開集合が存在することが帰結される。キャパシティーの可微分性については知られた結果がほとんどなく、これらの予想が示されれば、キャパシティー不変量の特異集合の解析は、幾何学的な観点から極めて興味深い。