双曲結び目上のレンズ空間,ザイフェルト多様体を生じるデーン手術に関する研究

Thurstonは双曲結び目上のDehn surgeryを行った際、有限個のsurgeryを除き、得られた3次元多様体が双曲構造をもつことを証明した。それでは、その有限個の非双曲Dehn surgeryはどのように生じるのであろうか。これを記述することがDehn surgeryの研究における主要な問題である。本研究では非双曲Dehn surgeryの中でも特に未解決な問題が多く残されているSeifert fiber spaceを生み出すDehn surgery(Seifert surgery)について研究を進めてきた。トーラス結び目のSeifert surgeryは、トーラス結び目の外部がSeifert fibrationをもっているので、solid torusを埋め戻す際に、その外部のSeifert fibrationのsolid torusへの拡張を観察することによって自然な説明が可能である。それでは、双曲結び目のDehn surgeryでSeifert fiber spaceが生じる現象はどのように説明されるのであろうか?本研究ではSeifert surgeryを個別に調べるのではなく、Seifert surgery全体の集合を考え、それらが構成するネットワークを通じて、Seifert surgeryの間の相互の関係に着目し、Seifert surgeryを大域的に理解することを目標にしている。本研究の第一段階としてSeifert surgeryに対して、seiferterと呼ばれるものを導入し、このseiferterを用いて、各頂点をSeifert surgeryとするネットワーク(Seifert Surgery Network)を定義した。このネットワークはS-latticeと呼ばれる1次元の格子が組合わさった構造をもつており、その組み合わせ構造について詳しく調べ、Seifert Surgery Networkが樹(tree)ではなく、無限個の輪をもつていることが明らかになった。また、ネットワークという視点を導入することにより、これまでに知られているSeifert surgeryの相互関係がはっきり記述できるようになった。特に、非常に多くのSeifert sureryがトーラス結び目上のSeifert surgeryとSeifert Surgery Network内の道でつながつていることが判明した。今後、Seifert Surgery Networkの連結性という最も重要な問題に取り組んでいきたい。

Thurstonは双曲結び目上のDehn surgeryを行った際、有限個のsurgeryを除き、得られた3次元多様体が双曲構造をもつことを証明した。それでは、その有限個の非双曲Dehn surgeryはどのように生じるのであろうか。これを記述することがDehn surgeryの研究における主要な問題である。本研究では非双曲Dehn surgeryの中でも特に未解決な問題が多く残されているSeifert fiber spaceを生み出すDehn surgery(Seifert surgery)について研究を進めてきた。トーラス結び目のSeifert surgeryは、トーラス結び目の外部がSeifert fibrationをもっているので、solid torusを埋め戻す際に、その外部のSeifert fibrationのsolid torusへの拡張を観察することによって自然な説明が可能である。それでは、双曲結び目のDehn surgeryでSeifert fiber spaceが生じる現象はどのように説明されるのであろうか?本研究ではSeifert surgeryを個別に調べるのではなく、Seifert surgery全体の集合を考え、それらが構成するネットワークを通じて、Seifert surgeryの間の相互の関係に着目し、Seifert surgeryを大域的に理解することを目標にしている。本研究の第一段階としてSeifert surgeryに対して、seiferterと呼ばれるものを導入し、このseiferterを用いて、各頂点をSeifert surgeryとするネットワーク(Seifert Surgery Network)を定義した。このネットワークはS-latticeと呼ばれる1次元の格子が組合わさった構造をもつており、その組み合わせ構造について詳しく調べ、Seifert Surgery Networkが樹(tree)ではなく、無限個の輪をもつていることが明らかになった。また、ネットワークという視点を導入することにより、これまでに知られているSeifert surgeryの相互関係がはっきり記述できるようになった。特に、非常に多くのSeifert sureryがトーラス結び目上のSeifert surgeryとSeifert Surgery Network内の道でつながつていることが判明した。今後、Seifert Surgery Networkの連結性という最も重要な問題に取り組んでいきたい。