結び目のDehn手術に関する研究

結び目のDehn手術は3次元球面S^3内の結び目から3次元多様体を構成していく方法としてM.Dehnにより導入された。3次元球面S^3内の結び目Kに対し、その管状近傍Vをいったん取り除き、再び別な方法でVを貼り合わせる操作を結び目K上のDehn手術と呼ぶ。Thurstonにより双曲結び目のDehn手術では有限個のDehn手術を除き、得られた多様体が再び双曲多様体になることが示されている。このような有限個のDehn手術を例外型Dehn手術と呼び、例外的な手術を記述することがDehn手術理論の主要な研究テーマになっている。本研究では例外型Dehn手術のひとつであるSeifert fibring surgeryについて考察を進めてきた。特にsatellite結び目のDehn手術については宮崎氏(東京電機大学)との共同研究によりSeifert多様体を生み出すDehn手術係数やそのsatellite結び目の型について多くのことがあきらかになり、その成果は専門誌Topologyに発表した論文にまとめられている.双曲結び目に対してはDehn手術によって得られたSeifert多様体のファイバーの"位置"に着目した研究を現在進めている.Dehn手術によってファイバーがどのように生じてくるかという問題意識はこれまでには全くなかったもので、本研究の大きな特色を成している。ファイバーの"位置"に着目するという方法は結び目の対称性とSeifert fibring surgeryの関係を調べる際に非常に有効であり,周期が2より大きな結び目はSeifert fibring surgeryを持たない事などが明らかになった.またもとの双曲構造での閉測地線とSeifert構造でのファイバーとの関係についてもJ.Weeks氏によって開発されたコンピュータープログラムSnapPeaを用いた多くのコンピューター実験を行い興味深い現象を発見できた.(これらの研究成果は2編の論文にまとめられ現在投稿中).今後もこの方面の研究を進めていく予定である.

結び目のDehn手術は3次元球面S^3内の結び目から3次元多様体を構成していく方法としてM.Dehnにより導入された。3次元球面S^3内の結び目Kに対し、その管状近傍Vをいったん取り除き、再び別な方法でVを貼り合わせる操作を結び目K上のDehn手術と呼ぶ。Thurstonにより双曲結び目のDehn手術では有限個のDehn手術を除き、得られた多様体が再び双曲多様体になることが示されている。このような有限個のDehn手術を例外型Dehn手術と呼び、例外的な手術を記述することがDehn手術理論の主要な研究テーマになっている。本研究では例外型Dehn手術のひとつであるSeifert fibring surgeryについて考察を進めてきた。特にsatellite結び目のDehn手術については宮崎氏(東京電機大学)との共同研究によりSeifert多様体を生み出すDehn手術係数やそのsatellite結び目の型について多くのことがあきらかになり、その成果は専門誌Topologyに発表した論文にまとめられている.双曲結び目に対してはDehn手術によって得られたSeifert多様体のファイバーの"位置"に着目した研究を現在進めている.Dehn手術によってファイバーがどのように生じてくるかという問題意識はこれまでには全くなかったもので、本研究の大きな特色を成している。ファイバーの"位置"に着目するという方法は結び目の対称性とSeifert fibring surgeryの関係を調べる際に非常に有効であり,周期が2より大きな結び目はSeifert fibring surgeryを持たない事などが明らかになった.またもとの双曲構造での閉測地線とSeifert構造でのファイバーとの関係についてもJ.Weeks氏によって開発されたコンピュータープログラムSnapPeaを用いた多くのコンピューター実験を行い興味深い現象を発見できた.(これらの研究成果は2編の論文にまとめられ現在投稿中).今後もこの方面の研究を進めていく予定である.