Geometric and algebraic aspects of Dehn surgery

群の自由積や融合積を用いて、より大きな階数をもつ群を構成することができる。従って、共役ねじれ元をもつ既知の３次元多様体の連結和やトーラスでの貼り合わせを行ない、基本群の階数が大きな３次元多様体でねじれ共役元をもつものを構成することができる。一方、基本群の階数が２より大きな３次元双曲多様体で、ねじれ共役元をもつものはこれまでに知られていなかった。一般に基本群が３以上の階数をもっている場合、その群表示から共役ねじれ元を見つけることは非常に困難である。本研究ではDehnフィリングにより共役ねじれ元が発生するメカニズムを利用して、１より大きな任意の整数nに対して、基本群の階数がnで共役ねじれ元をもつような３次元双曲多様体を構成した。さらに、位数２の共役ねじれ元をもつような結び目群を完全に決定することに成功した。これらの結果をまとめた共著論文はともに出版が受理されている。結び目外部空間の本質的曲面はDehn手術の幾何的な側面で重要な役割を担っているが、色付きジョーンズ多項式の最高次数が結び目外部空間の本質的曲面のトポロジーに関する情報をもっているというスロープ予想とストロングスロープ予想が近年盛んに研究されている。本研究ではKenneth Baker氏と高田敏恵氏との共同研究を継続し、Mazurパターンサテライト結び目に対してスロープ予想とストロングスロープ予想を、ある条件のもとで肯定的に解決した。条件を満たさない結び目が存在すれば反例が得られることもわかった。これらの結果を論文として完成させるとともに、色付きジョーンズ多項式の計算を利用してJones直径を決定し、Mazurパターンサテライト結び目の無限族に対して結び目最小交点数を誤差１で決定することに成功した。

群の自由積や融合積を用いて、より大きな階数をもつ群を構成することができる。従って、共役ねじれ元をもつ既知の３次元多様体の連結和やトーラスでの貼り合わせを行ない、基本群の階数が大きな３次元多様体でねじれ共役元をもつものを構成することができる。一方、基本群の階数が２より大きな３次元双曲多様体で、ねじれ共役元をもつものはこれまでに知られていなかった。一般に基本群が３以上の階数をもっている場合、その群表示から共役ねじれ元を見つけることは非常に困難である。本研究ではDehnフィリングにより共役ねじれ元が発生するメカニズムを利用して、１より大きな任意の整数nに対して、基本群の階数がnで共役ねじれ元をもつような３次元双曲多様体を構成した。さらに、位数２の共役ねじれ元をもつような結び目群を完全に決定することに成功した。これらの結果をまとめた共著論文はともに出版が受理されている。結び目外部空間の本質的曲面はDehn手術の幾何的な側面で重要な役割を担っているが、色付きジョーンズ多項式の最高次数が結び目外部空間の本質的曲面のトポロジーに関する情報をもっているというスロープ予想とストロングスロープ予想が近年盛んに研究されている。本研究ではKenneth Baker氏と高田敏恵氏との共同研究を継続し、Mazurパターンサテライト結び目に対してスロープ予想とストロングスロープ予想を、ある条件のもとで肯定的に解決した。条件を満たさない結び目が存在すれば反例が得られることもわかった。これらの結果を論文として完成させるとともに、色付きジョーンズ多項式の計算を利用してJones直径を決定し、Mazurパターンサテライト結び目の無限族に対して結び目最小交点数を誤差１で決定することに成功した。