粒子と量子場の相互作用系における束縛の強化の解析的研究

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イオン結晶中の2つの電子を考える。この2電子の間には、次の2つの力が働く。(1)各電子が同じ電荷を持つために働くクーロン斥力。(2)格子-電子間相互作用により生じる電子間引力。2電子間の引力がクーロン斥力より強いならば2つの電子はベアを形成する。このイオン結晶中の2電子ベアをバイポーラロンと呼ぶ。本年度の主な研究業績は、この直感的な話を数学的に厳密に証明したことである。より詳しく述べると、このような系は一般にFroehlich Hamiltonianと呼ばれる、フォック空間上の自己共役作用素で記述される。バイポーラロンの存在は、このHamiltonianが基底状態を持つことに対応している。(ここで基底状態とはHamiltonianのスペクトルの下限が固有値である場合の、対応する固有ベクトルのことである。)ここで考察しているFroehlich Hamiltonianとは、非常に複雑であり、そのスペクトル解析は困難である。執筆者とミュンヘン工科大学のH. Spohn教授は実際にFroehlich Hamiltonianが基底状態を持つことを証明した。これが業績欄の論文である。先に述べたようにFroehlich Hamiltonianの解析は困難だが、我々は以前の共同研究を通じて発展させてきた手法をさらに発展、応用することにより、このHamiltonianが強結合領域において実際に基底状態を持つことを証明した。さらに、この証明の中で自然に現れてくるPekar-Tomasevich汎関数と呼ばれるエネルギー汎関数の解析が、今後の執筆者とH. Spohn氏の共同研究に繋がっている。また、バイポーラロンに関連する論文を2本現在投稿中である。