数理物理に現れる非線形偏微分方程式の解析

本年度も昨年度と同様に主にマクスウェル・シュレディンガー方程式(MS)の可解性について研究した.これはミクロな荷電粒子の運動とそれによって生じる電磁場の時間発展との相互作用を記述する方程式であり,数学的にも物理学的にも興味深い.(MS)の可解性については先行するいくつかの結果があるが,それらは(1)時間局所適切性(2)エネルギー保存則とコンパクト性の手法を用いた時間大域的弱解の構成のいずれかに分類される.そして(1)における(エネルギー空間より狭いクラスでの)一意性を保証された解が時間大域的に存在するかという問題は重要であるにもかかわらず長い間未解決となっていた.最近私は東北大学の中村誠氏と共同でこの問題に取り組み,時間局所解の適切性をこれまでより広いクラスで証明し,さらにその解が時間大域的に存在することを証明したが,それに引き続いて初期条件が解にどの様に依存するか考察した.これは非線形方程式の適切性の研究ではもっともデリケートな部分であるが,KdV方程式の研究におけるBona-Smithの古典的な方法を修正して用いることにより解が初期条件に強収束の意味で連続に依存することを証明できた.これにより(MS)の適切性についてある程度満足のいく結果が確立されたので中村氏と共著の論文にまとめた(Comm.Math.Phys.に掲載予定).なお,エネルギー空間で適切性を証明できれば非常によいのでそれを目標に時間局所適切性の結果を改善する方法を色々考えてみたが,思うような結果は得られなかった.

本年度も昨年度と同様に主にマクスウェル・シュレディンガー方程式(MS)の可解性について研究した.これはミクロな荷電粒子の運動とそれによって生じる電磁場の時間発展との相互作用を記述する方程式であり,数学的にも物理学的にも興味深い.(MS)の可解性については先行するいくつかの結果があるが,それらは(1)時間局所適切性(2)エネルギー保存則とコンパクト性の手法を用いた時間大域的弱解の構成のいずれかに分類される.そして(1)における(エネルギー空間より狭いクラスでの)一意性を保証された解が時間大域的に存在するかという問題は重要であるにもかかわらず長い間未解決となっていた.最近私は東北大学の中村誠氏と共同でこの問題に取り組み,時間局所解の適切性をこれまでより広いクラスで証明し,さらにその解が時間大域的に存在することを証明したが,それに引き続いて初期条件が解にどの様に依存するか考察した.これは非線形方程式の適切性の研究ではもっともデリケートな部分であるが,KdV方程式の研究におけるBona-Smithの古典的な方法を修正して用いることにより解が初期条件に強収束の意味で連続に依存することを証明できた.これにより(MS)の適切性についてある程度満足のいく結果が確立されたので中村氏と共著の論文にまとめた(Comm.Math.Phys.に掲載予定).なお,エネルギー空間で適切性を証明できれば非常によいのでそれを目標に時間局所適切性の結果を改善する方法を色々考えてみたが,思うような結果は得られなかった.