代数的符号理論における符号の一般化重みとその応用に関する研究

有限体の線形符号に関する一般化重みの研究及びその研究において派生する組合せデザインやマトロイド等の他の離散数学の分野への応用に関する研究を行った。本年度においては,前年度までに行った基礎研究(特に,符号理論における研究)を基に発展的・応用的な研究を行った。具体的な研究成果は以下の通りである。1.マトロイドからの組合せデザインの構成法の考察前年度までに行った線形符号の部分符号から組合せデザインを構成する手法等をマトロイドに拡張し,新たな見解を得た。特に,有限体上の行列で表現不可能なマトロイド(対応する符号が存在しない場合)についても組合せデザインの構成が可能であることや,2部グラフ等のマトロイドの一種であるものからも新たに組合せデザインが構成できることが判明した。2.Tutte多項式を用いた符号の高次重み多項式の決定問題の考察符号の高次重み多項式(各部分符号の重み分布を係数とした多項式)の決定問題に対して,マトロイド理論において研究がなされてきたTutte多項式を与えられた符号に対して考察することで,この問題へ新たなアプローチを行った。特に,2元体上の符号長48のquadratic residue code(QR符号)に対しては,符号理論的計算手法では高次重み多項式の決定が不可能であるとされていたが,対応するマトロイドのTutte多項式を決定することでこの符号の高次重み多項式をすべて決定できた。

有限体の線形符号に関する一般化重みの研究及びその研究において派生する組合せデザインやマトロイド等の他の離散数学の分野への応用に関する研究を行った。本年度においては,前年度までに行った基礎研究(特に,符号理論における研究)を基に発展的・応用的な研究を行った。具体的な研究成果は以下の通りである。1.マトロイドからの組合せデザインの構成法の考察前年度までに行った線形符号の部分符号から組合せデザインを構成する手法等をマトロイドに拡張し,新たな見解を得た。特に,有限体上の行列で表現不可能なマトロイド(対応する符号が存在しない場合)についても組合せデザインの構成が可能であることや,2部グラフ等のマトロイドの一種であるものからも新たに組合せデザインが構成できることが判明した。2.Tutte多項式を用いた符号の高次重み多項式の決定問題の考察符号の高次重み多項式(各部分符号の重み分布を係数とした多項式)の決定問題に対して,マトロイド理論において研究がなされてきたTutte多項式を与えられた符号に対して考察することで,この問題へ新たなアプローチを行った。特に,2元体上の符号長48のquadratic residue code(QR符号)に対しては,符号理論的計算手法では高次重み多項式の決定が不可能であるとされていたが,対応するマトロイドのTutte多項式を決定することでこの符号の高次重み多項式をすべて決定できた。