楕円型方程式の特異摂動問題に関する研究

椭圆方程奇异摄动问题的研究

• 批准号: 17740092
• 负责人: 柴田 将敬
• 金额: $ 0.9万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2006
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17740092/
• 关键词: 特異極限; 変分法

方程式-ε^2Δu=g(u) in Ωの正値解について、一般の非線型項g(u)でε→0での特異極限問題を考え、方程式が一ε^2Δu=(u-1)^p_+でp【greater than or equal】1の場合に得られる結果がどの程度一般的な非線型項g(u)に対して成立するのかについて研究・考察を行った。この非線型項はzero mass caseと呼ばれ、同様の特異極限の問題で非常に多く研究されているpositive mass caseでは解が指数減衰するのに対し、zero mass caseでは指数減衰しない点が大きく異なっている。予想としては、全空間の問題について考察されている[H.Berestycki and P.L.Lions, Arch.Rat.Mech.Anal.82(1983)]で挙げられているg(u)の条件をみたす程度まで一般化できると思われる。特に方程式-ε^2Δu=V(χ)g(u) in Ωに対して、領域やV(χ)が解に与える影響を考察した[Shibata, Asymptotic Anal.31(2002)]を一般の非線型項に拡張するべく研究・考察を行い、[Berestycki-Lions(1983)]で挙げられている条件と同様の条件をg(u)に仮定し、最小エネルギー解はV(χ)の最大値付近に集中するような形状を持つ解であるという結果を得た。上の[Shibata(2002)]では解の形状に関してさらに詳しい結果を得ているが、その部分が一般のg(u)について成立するか、また、さらに高いエネルギーの解を構成出来るかどうかは、今後の課題である。ここで用いた方法はエネルギーにペナルティを加える方法であり、positive mass caseの場合に非常に良く使われている方法をこの問題に適用可能なように変更し、結果を得た。

对于方程式-ε^2ΔU= g（u）在ω中的阳性解，我们考虑了ε→0的单数极限问题，其中一般非线性项g（u）和研究和考虑因素在方程为1ε^2ΔU=（u -1）^p_+和p [大于或complience for Norlinear n emblinear n oslinear n emblineag（u）时所获得的结果的数量。该非线性项称为零质量病例，区别在于，该溶液在正质量病例中呈指数衰减，在质量质量上，该溶液已经对同一单数极限问题进行了很多研究，而在零质量病例中，溶液不会衰减。预测是，在符合[H. Berestycki和P. L. Lions，拱门。鼠。机械。肛门。 82（1983）]，讨论了整个空间的问题。特别是，对于方程式-ε^2ΔU= v（χ）g（U），我们研究了该区域和V（χ）对溶液的影响，并研究了一般的非线性项，并假设与[Berestycki -ement''在求解方面的效果扩展了对求解的效果的G（U）条件，假设G（U）条件类似于[berestycki -egrions]中列出的条件。形状集中在V（χ）的最大值附近。上面的[Shibata（2002）]提供了有关解决方案形状的更详细的结果，但是该部分是否适用于一般的G（u），以及是否可以构造它以创建更高能量的解决方案是未来的挑战。这里使用的方法是为能量增加惩罚，而在阳性质量病例的情况下，一种非常普遍的方法被修改为适用于此问题，从而导致结果。