楕円型方程式の特異摂動問題に関する研究

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方程式-ε^2Δu=g(u) in Ωの正値解について、一般の非線型項g(u)でε→0での特異極限問題を考え、方程式が一ε^2Δu=(u-1)^p_+でp【greater than or equal】1の場合に得られる結果がどの程度一般的な非線型項g(u)に対して成立するのかについて研究・考察を行った。この非線型項はzero mass caseと呼ばれ、同様の特異極限の問題で非常に多く研究されているpositive mass caseでは解が指数減衰するのに対し、zero mass caseでは指数減衰しない点が大きく異なっている。予想としては、全空間の問題について考察されている[H.Berestycki and P.L.Lions, Arch.Rat.Mech.Anal.82(1983)]で挙げられているg(u)の条件をみたす程度まで一般化できると思われる。特に方程式-ε^2Δu=V(χ)g(u) in Ωに対して、領域やV(χ)が解に与える影響を考察した[Shibata, Asymptotic Anal.31(2002)]を一般の非線型項に拡張するべく研究・考察を行い、[Berestycki-Lions(1983)]で挙げられている条件と同様の条件をg(u)に仮定し、最小エネルギー解はV(χ)の最大値付近に集中するような形状を持つ解であるという結果を得た。上の[Shibata(2002)]では解の形状に関してさらに詳しい結果を得ているが、その部分が一般のg(u)について成立するか、また、さらに高いエネルギーの解を構成出来るかどうかは、今後の課題である。ここで用いた方法はエネルギーにペナルティを加える方法であり、positive mass caseの場合に非常に良く使われている方法をこの問題に適用可能なように変更し、結果を得た。