量子トポロジーとコヴァノフ・ホモロジー

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ホモトピー量子場の理論とは,位相的量子場の理論の細分化として定義されたものであり,位相的場の理論で得られる3次元多様体の不変量を,ホモトピー的な量により分解するものである.また,位相的場の理論とは,3次元多様体の境界として与えられる曲面にベクトル空間を,3次元多様体にはベクトル空間の間の線型写像を与えるものであり自然な関手の性質を持つ.3次元多様体に境界がないときは,複素数間の線型写像としてスカラー不変量が得られる.Turaev-Viro不変量は,3次元多様体の4面体分割に対応した状態和として定義される.つまり,面や稜にパラメータ付けが与えられた4面体に対して,量子6j記号と呼ばれる量子群から定義される量を対応させ,この量のすべての4面体についての積の,すべてのパラメータにわたる和を取ったものがTuraev-Viro不変量である.Turaev-Viro不変量は,位相的量子場の理論に拡張できることが知られている.本研究では,このTuraev-Viro不変量のホモトピー量子場の理論的な分解を与えた.この分解は,Turaev-Viro不変量を構成するときに使われた圏に対応した群により与えられる.特に,リー環s1(2,C)に対応した圏により定義されるTuraev-Viro不変量(最初に定義されたもの)は,3次元多様体のスピン構造や1次元コホモロジーに対応した分解を持つことが分かる.これは,Reshetikhin-Turaev不変量に関する同様の分解に対応するものである.今後,他の圏に対応したTuraev-Viro不変量の分解の位相的な意味を研究する予定である.