3次元における対称性:量子的アプローチ

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カウフマンは(3次元空間内の)絡み目のジョーンズ多項式を初等的に定義するためにカウフマン括弧式を導入した.そのために利用した関係式をカウフマン・スケイン関係式と呼ぶ.3次元多様体Mに埋め込まれた絡み目のイソトピー類全体をL,単位元を持つ可換環をRとしたとき,R[L]をカウフマン・スケイン関係式で割った加群を,Mのカウフマン・スケイン加群と呼ぶ.一方,山田修司は空間グラフ(3次元ユークリッド空間に埋め込まれたグラフ)の位相不変量を定義するために,カウフマンのスケイン関係式を拡張した山田スケイン関係式を定義した.境界付きの向き付け可能な曲面で,グラフ(辺と頂点からなる1次元図形)に縮約可能なものをリボン・グラフと呼ぶ.3次元多様体Mに埋め込まれたリボン・グラフのイソトピー類全体をGとおく.そして,自由加群R[G]を,山田スケイン関係式で割って得られる加群のことをMのグラフ-スケイン加群と言う.本研究の主要結果は,ハンドル体(トーラス体S^1×D^2をいくつか貼り合わせて得られる3次元多様体)のグラフ・スケイン加群の計算である.この計算は,グラフ・スケイン加群をカウフマン・スケイン加群に埋め込むことによって行なわれた.(ハンドル体のカウフマン・スケイン加群の計算はPrzytyckiによってなされている.)空間グラフは,平面の回転によって不変な平面図を持つとき周期的であるという.グラフ・スケイン加群の研究の応用として次のような結果を得た.トーラス体のグラフ・スケイン加群を利用することによって,空間グラフが周期的であるための条件を求めた.いくつかの空間グラフに対してはこの結果を利用して非周期性を証明することができる.