3次元における対称性: 量子的アプローチ

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p≧2を整数とし,Gを位数pの有限巡回群をする.Gが向き付けられた閉3次元多様体Mに,円周を不動点として半自由に働くときに限り,Mは周期的であると言う.この研究の目的は3次元多様体の周期性の判定方法を見つけることである.具体的には,この20年間に発見された位相不変量を使って,3次元多様体が周期的になるための必要条件を与えることである.3次元球面内の絡み目Lは,z車由の周りの位数pの標準的な回転に関して不変であるときに限りp-周期的であると言う.Lの商絡み目の各成分と回転軸の絡み数がpを法として0であるとき,絡み目Lは強p-周期的であると言う.強周期的絡み目と周期的3次元多様体の関係はPrzytyckiとSokolovによって与えられている.つまり,3次元多様体がp-周期的であるための必要十分条件は,3次元球面から強p-周期的絡み目の手術で得られることである.本研究で得られた最初の結果は,絡み目が強p-周期的となるための必要条件である.つまり,絡み目Lが素数p-に対して強p-周期的なら,乙のConway多項式の2番目の係数がp-を法として0となる.Mを,3次元球面から枠付き絡み目Lの手術で得られた3次元多様体とする.Lescopは,Casson-Walker不変量を,Lの部分絡み目のAlexander多項式,絡み数,および枠で表す公式を得た.この式を強周期的絡み目に適用することにより,周期的3次元多様体のCasson-Walker-Lescop不変量は,(p-を法として)Lの絡み行列の符号数と1次元ホモロジー群の位数にしかよらないことがわかる.Betti数が0でない周期的多様体に限れば,Casson-Walker-Lescop不変量はp-を法として0となることがわかる.その応用として,3次元トーラスはすべての素数p>3に対して周期的ではないことがわかる.