Asymptotic behaviors of quantum invariants of knots and three-manifolds

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今年度は1篇の共著論文を発表し，1篇の単著論文を学術雑誌に投稿した．発表した論文は，米国テキサス州立大学ダラス校の Anh Tran氏との共同研究によるものである．内容は，torus knot の整数係数手術で得られる3次元多様体の，リー群 SU(2) に対応した Witten-Reshetikhin-Turaev の漸近挙動に関するものである．結び目に対する同様の研究は，体積予想として R. Kashaev, 村上順および研究代表者により提唱され大いに研究されている．3次元多様体に対する同様の予想は Q.Chen と T. Yang により提唱され幾つかの例に対して証明されている．Chen-Yang予想は，体積予想と同様解決までには時間がかかると思われるので，本研究のような具体的で詳細な例が重要であると考える．投稿中の論文は，結び目の体積予想の一般化とそれに関連した量子モジュラー性に関するものである．結び目の体積予想（とその一般化）は，色付きJones多項式の漸近挙動を結び目補空間の位相的・幾何的不変量を関係付けるものである．本研究では，8の字結び目の色付きJones多項式のパラメータに exp((u+2pπi)/N) を代入したときの N->∞の漸近挙動を調べた．ただし，p は自然数であり，u は arccosh(3/2)より小さい正の実数である．その結果，漸近挙動から，8の字結び目の補空間の非完備双曲楮に対応したChern-Simons不変量とadjoint Reidemeister torsion が得られることが分かった．また，pに関するある種の量子モジュラー性も予想される．