チャーン・サイモンズ理論や面の運動に対する確率解析的研究

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本研究の主要な対象であるチャーン・サイモンズ理論に対し、リーマン面とそのモジュライ空間に関する数論幾何を応用することによって、次のような結果を得た。1. 数論幾何における重要な対象であるテイト曲線と、その高種数化に関する理論を用いることにより、ショットキー群によって一意化された、双曲的3次元多様体のチャーン・サイモンズ不変量を表す巾級数の数論性を示した。2. 数論幾何において基本的な重要性を持つ算術的リーマン・ロッホの定理に現れる同型写像を、代数曲線の族の場合に考察し、1. の結果を用いることにより、その同型写像の具体的な無限積表示を与えた。3. リーマン面に関する古典的リウヴィル作用の正則分解公式における未決定の定数を、具体的に求めた。4. 数論幾何の主要問題の一つであるゼータ関数の特殊値の有理性を、幾何的なゼータ関数に対して考察し、2. の結果を用いることにより、ショットキー群で一意化された3次元双曲的多様体のルエル・ゼータ関数について、その特殊値の持つ有理性と数論性を示した。本研究の主な目的は、ウィッテン等により明らかにされたチャーン・サイモンズ理論と物理学における弦理論との関連性をさらに深く追求することにあった。上記2. で述べられた代数曲線の族についてのリーマン・ロッホ同型写像は、弦理論における弦測度として現れることが知られている。従って、数論幾何を援用して得られた上記1～3の諸結果により、チャーン・サイモンズ理論と弦理論の更に深い関連性が明らかにされ、その関連性は数論幾何と数理物理に大きな応用を持つことが示された。