無限次元空間上の確率解析

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本研究の目的は、場の量子論に於ける確率量子化の問題や神経細胞の振るまいをも含む無限粒子の統計力学などを無限自由度の数学としてとらえ、無限次元空間上の汎関数解析、無限変数の偏微分方程式を研究することであった。我々の方法論的特徴は、無限次元空間上の測度論である確率論の手法を用いる点にあった。この様な方向での研究にとっては、無限次元空間上の超関数の基礎空間が、いかなるものであるか、或いはいかなるものでなければならないかを明らかにすることが不可欠である。本研究代表者は、北海道大学の岡部氏のグル-プと共同して、超対称的場の理論に現れる超対称的ラプラシアンに対するドラム-ホッジ-小平の分解における零ホ-ムの空間をもって、新しい無限次元空間上の超関数の基礎空間とする理論を構築した。これは京都大学の重川氏が、近年、急速に進歩したマリアバン解析における抽象ウィナ-空間上の超関数の基礎空間を用いてドラム-ホッジ-小平の分解を示したことにも動機づけられている。この我々の研究は、無限次元の幾何学への重要な一歩でもある。これらの成果は、現在投稿中の新井氏との共著の論文としてまとめられた。無限次元空間上の対称マルコフ形式を用いた汎関数解析への応用なども見込まれるが今後の問題である。さらに場の量子論の或る種の正値性と久保の線型応答理論から出発した岡部理論を通しての経済現象の予測などのデ-タ解析への応用は論の創始者である岡部氏と滋賀大の中野氏による共著の論文としてまとめられた。