フラクタル上のラプラシアンの構成と測度論的リーマン構造の研究

分形拉普拉斯构造与测度黎曼结构的研究

• 批准号: 08J06088
• 负责人: 梶野 直孝
• 金额: $ 1.15万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J06088/
• 关键词: フラクタル; 熱核; Dirichlet形式; Sierinski gasket; 測度論的Riemann構造; Weyl型漸近挙動; 時間変更; Brown運動; 漸近展開; 測地距離; Varadhan型漸沂挙動; 自己相似フラクタル; Laplacian; 固有値; Sierpinski carpet; 調和Sierpinski gasket

本研究課題の主題の一つである測度論的Riemann構造の研究の一環として,Sierpinski gasket上の測度論的Riemann構造について前年度までの成果を受けさらに詳細な解析を行い次のことを証明した.(1)頂点xを中心とする半径rの測地球の体積をrで割った商が,rが0に近づく極限で(xに応じて決まる)正の定数に収束すること.(2)対応する拡散過程X(t)を頂点xから出発させるとき,X(t)の出発点xからの距離の平均は,時刻tを0に近づける極限において1次元Brown運動の場合と同様の挙動を示す.(3)対応するLaplacianの固有値の増大度がSierpinski gasketの(調和測地距離に関する)Hausdorff次元のべきで(修正項なしに)与えられる.(1),(2)により調和測地距離のより精密な漸近挙動が明らかになった.また(3)はLaplacianの固有値に関する基本的な問題意識であるWeyl型漸近挙動を考える上での大前提となる事実であり,今後の更なる研究の動機付けとして重要である.一方,当初の目標であるSierpinski gasket以外の自己相似フラクタルへの一般化については,京都大学の日野正訓氏との共同研究が進行中であるがまだ完成には至っていない.この他,フラクタル上の熱核の解析に関連して,nested fractal上の標準的な熱核p(t,x,y)について,p(t,x,x)のtを0に近づける極限での漸近挙動には,(古典的なRiemann多様体上の熱核とは異なり)一種の振動が見られることを証明した.Sierpinski gasketに対してはこの結果は平成20年度中に既に得られていたが,本結果はこれをより広くnested fractalの枠組みで(部分的に)一般化したものである.フラクタル上の熱核がこのように振動を有することの証明は当該分野における10数年来の未解決問題であったが,本研究はこれをnested fractalという一般の枠組みで肯定的に解決したことになる.

The main topic of this paper is to study the Riemann structure of measure theory on Sierpinski gasket. (1)The vertex x is the center of the radius r and the volume of the measured earth r is the quotient r,r is 0, the approximate limit r is (x is the center of the radius r), and the positive number r is the limit r. (2)For the dispersion process X(t), the average distance from the vertex x to the exit point x is shown. (3)The increase in the intrinsic value of the Laplacian is related to the Sierpinski gasket (harmonic geodetic distance) and the Hausdorff dimension. (1),(2). (3) The fundamental problem consciousness related to the intrinsic value of Laplacian is important for the motivation of future research. On the other hand, the original purpose of Sierpinski gasket is similar to its own generalization, and the joint research of Kyoto University and Hino Masato is in progress. The standard thermonuclear p(t,x,y) on nested fractals is the asymptotic motion of p(t, x,y) on t 0. A kind of vibration is proved by the classical Riemann manifold. The Sierpinski gasket is proved to be a generalization of the classical Riemann manifold. The Sierpinski gasket is proved to be a generalization of the classical Riemann manifold. This paper proves that there is a problem unsolved in the past 10 years, and this problem is solved by nested fracture in general.

项目成果

Time changes of local Dirichlet spaces by energy measures of harmonic functions

通过调和函数的能量测量来计算局部狄利克雷空间的时间变化

• 期刊: Forum Mathematicum
• 影响因子: 0.8
• 作者: Takahashi;H.;Masuya;G.;頼俊輔;Naotaka Kajino
• 通讯作者: Naotaka Kajino

調和関数のエネルギー測度による局所 Dirichlet 形式の時間変更

调和函数能量测度局部狄利克雷形式的时间修正

• 发表时间: 2009
• 作者: Takahashi;H.;Masuya;G.;頼俊輔;Naotaka Kajino;Naotaka Kajino;梶野直孝;貫井裕恵;Naotaka Kajino;貫井裕恵;貫井裕恵;貫井裕恵;貫井裕恵;梶野直孝
• 通讯作者: 梶野直孝

Weyl Type Spectral Asymptotics for the Laplacian on Sierpinski carpets

Sierpinski 地毯上拉普拉斯算子的 Weyl 型谱渐近

• 发表时间: 2008
• 作者: Takahashi;H.;Masuya;G.;頼俊輔;Naotaka Kajino;Naotaka Kajino;梶野直孝;貫井裕恵;Naotaka Kajino;貫井裕恵;貫井裕恵;貫井裕恵;貫井裕恵;梶野直孝;貫井裕恵;Naotaka Kajino
• 通讯作者: Naotaka Kajino

"Riemannian structure" on the Sierpinski gasket and its heat kernel analysis

谢尔宾斯基垫片的“黎曼结构”及其热核分析

• 发表时间: 2011
• 作者: Takahashi;H.;Masuya;G.;頼俊輔;Naotaka Kajino;Naotaka Kajino
• 通讯作者: Naotaka Kajino

On-diagonal oscillation of the heat kernels on p.c.f. self-similar fractals

p.c.f. 上热核的对角线振荡

• 发表时间: 2011
• 作者: Takahashi;H.;Masuya;G.;頼俊輔;Naotaka Kajino;Naotaka Kajino;梶野直孝
• 通讯作者: 梶野直孝