流体力学などに現れる非線形偏微分方程式の応用解析

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流体の運動は非線形偏微分方程式で記述されるが、その解の性質には分かっていないことが多い。特に、非圧縮流体の基礎方程式については、約250年前に粘性がない場合に発見されて以来、その方程式は様々な大数学者によって研究されてきたが、解が連続であるかどうか、という肝心なところが不明なままである。粘性がある場合ですら、180年ほど過ぎているが、事情は同じである。有名なクレイ研究所のミレニアム問題の一つにも選ばれている。非線形偏微分方程式には様々な手法が開発されてきたが、比較的単純な方程式には有効であっても、流体力学に適用してみるとうまくいかないということがしばしばである。従って、モデルの考察が重要となる。モデルとしては、コンスタンチン-ラックス-マイダによるものの一般化、カマサーホルム方程式、ハンター-サクストン方程式が近年脚光を浴びている。こうした方程式について発展方程式の立場から適切性を調べてみた。一般化されたコンスタンチン-ラックス-マイダ方程式については、移流項の符号が重要であることがわかった。一般化されたハンター-サクストン方程式を1/2次のソボレフ空間を使って微分幾何学的に翻訳できることを示した結果は、これまでの結果を相当程度改善したものであり、本人の自信作であるようだ。そこで展開された手法は他の方程式についても適用可能であり、将来の応用が見込まれている。また、一般化されたプラウドマン-ジョンソン方程式の弱解を構成することに成功したのも重要であると考える。ただし、一部のパラメータのみで成功しているだけであり、今後一般の場合に拡張することが望まれている。Tudorascu教授との共著は一般論であるが、流体力学への応用も将来に見込めるのではないかと考えている。