流体力学などに現れる非線形偏微分方程式の応用解析

流体力学等中出现的非线性偏微分方程的应用分析

• 批准号: 09F09024
• 负责人: 岡本 久
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2009
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2009 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-09F09024/
• 关键词: vortex Motion; Hunter-Saxton方程式; geometric PDE; blow-up; Benjamin-Ono方程式; CLM方程式

流体の運動は非線形偏微分方程式で記述されるが、その解の性質には分かっていないことが多い。特に、非圧縮流体の基礎方程式については、約250年前に粘性がない場合に発見されて以来、その方程式は様々な大数学者によって研究されてきたが、解が連続であるかどうか、という肝心なところが不明なままである。粘性がある場合ですら、180年ほど過ぎているが、事情は同じである。有名なクレイ研究所のミレニアム問題の一つにも選ばれている。非線形偏微分方程式には様々な手法が開発されてきたが、比較的単純な方程式には有効であっても、流体力学に適用してみるとうまくいかないということがしばしばである。従って、モデルの考察が重要となる。モデルとしては、コンスタンチン-ラックス-マイダによるものの一般化、カマサーホルム方程式、ハンター-サクストン方程式が近年脚光を浴びている。こうした方程式について発展方程式の立場から適切性を調べてみた。一般化されたコンスタンチン-ラックス-マイダ方程式については、移流項の符号が重要であることがわかった。一般化されたハンター-サクストン方程式を1/2次のソボレフ空間を使って微分幾何学的に翻訳できることを示した結果は、これまでの結果を相当程度改善したものであり、本人の自信作であるようだ。そこで展開された手法は他の方程式についても適用可能であり、将来の応用が見込まれている。また、一般化されたプラウドマン-ジョンソン方程式の弱解を構成することに成功したのも重要であると考える。ただし、一部のパラメータのみで成功しているだけであり、今後一般の場合に拡張することが望まれている。Tudorascu教授との共著は一般論であるが、流体力学への応用も将来に見込めるのではないかと考えている。

流体的运动是通过非线性部分微分方程来描述的，但溶液的性质通常不知道。特别是，自250年前发现它们不是粘性的，但该解决方案是否连续的关键是未知的关键。即使它是粘性的，它已经大约180年了，但是情况仍然相同。它也被选为著名的克莱研究所的千年问题之一。已经为非线性部分微分方程开发了各种方法，但是尽管它们对于相对简单的方程有效，但在应用于流体力学时通常不起作用。因此，模型考虑很重要。模型包括Konstantin-Lux-Maida的概括，Kamatharholm方程和Hunter-Saxton方程，这些方程近年来一直引起人们的注意。我们从开发方程的角度研究了这些方程的适当性。对于广义的Konstantin-Lux-Maida方程，发现对流项的迹象很重要。结果表明，可以使用1/2阶Sobolev空间对广义的猎人 - 萨克斯顿方程进行差异化的翻译，这对先前的结果有了很大的改善，并且似乎是他本人所做的一项信心工作。那里开发的方法也适用于其他方程式，预计将来会应用。同样重要的是，我们已经成功地为广义的骄傲的约翰逊方程式构建了薄弱的解决方案。但是，它只有几个参数才成功，希望将来它将在一般情况下进行扩展。尽管他与Tudorascu教授的合着是一般理论，但他认为，未来也可以期望对流体机械师的应用。

项目成果

On a Nonlinear, Nonlocal Parabolic Problem with Conservation of Mass, Mean and Variance

• DOI: 10.1080/03605302.2011.563402
• 发表时间: 2011-08
• 期刊: Communications in Partial Differential Equations
• 影响因子: 1.9
• 作者: A. Tudorascu;Marcus Wunsch

On the geodesic flow on the group of diffeomorphisms of the circle with a fractional Sobolev right-invariant

具有分数索博列夫右不变量的圆微分同胚群上的测地流

• 发表时间: 2010
• 期刊: J.Nonlinear Math.Phys. (掲載確定)
• 作者: G.Erkol;M.Oka;T.T.Takahashi;M.Wunsch
• 通讯作者: M.Wunsch

Global and singular solutions to the generalized Proudman-Johnson equation

广义 Proudman-Johnson 方程的全局解和奇异解

• 发表时间: 2010
• 期刊: Journal of Differential Equations
• 影响因子: 2.4
• 作者: C.-H.Cho;Marcus Wunsch
• 通讯作者: Marcus Wunsch

On a two-component Hunter-Saxton system

在双组分 Hunter-Saxton 系统上

• 发表时间: 2009
• 作者: R.Anglani;M.Mannarelli;M.Ruggieri;M.Wunsch
• 通讯作者: M.Wunsch

The Generalized Hunter-Saxton System

• DOI: 10.1137/090768576
• 发表时间: 2010-05
• 期刊: SIAM J. Math. Anal.
• 作者: Marcus Wunsch