Studies on the Navier-Stokes equations by numerical methods

ナヴィエ・ストークス方程式は粘性流体の運動方程式であり、多くの研究者の注目を集めてきた。本研究では、まず、力学系理論から見たコルモゴロフ問題において粘性の小さな場合に見られる奇妙な現象を解析した。技術的な観点から言えば特異摂動現象の一つなのであるが、一般論を同方程式に適用しようとしてもすぐにはうまくいかない。これについて、数値的・摂動論的手法を用いて研究した。一方で、流体力学には様々なモデル方程式が使われており、その数値解析手法の開発も重要である。非圧縮流体のモデル方程式では非線形のみならず、しばしば非局所性が本質的である。そうした非線形かつ非局所的な微分方程式の解の特異点を数値的に検証しようとすると困難に出くわす。そうした問題を数値的に解くための計算アルゴリズムの開発をめざした。以上のふたつのメインテーマを中心にナヴィエ・ストークス方程式の解を研究した。さらに、流体力学の運動方程式はしばしば非線形かつ非局所的である。この「非局所的」という性質は意外に忘れられがちであるが、やっかいな問題を引き起こす原因となる。特に、解の爆発あるいは不連続性が発生するような発展方程式を数値計算しようとすると悩ましい問題に出会う。非線形熱方程式 ならば問題は簡単である。実際、一番簡単な差分法で定性的かつ定量的な解析が可能である。これは、ある時刻・ある点で爆発が起きるとき、元々の解がある種の単調性を持ち、その単調性が差分法の解にも共有されるからである。しかし、分数べきの微分方程式についてはそうした離散化が開発されていない。本研究ではその開発もひとつの目標としている。

ナヴィエ・ストークス方程式は粘性流体の運動方程式であり、多くの研究者の注目を集めてきた。本研究では、まず、力学系理論から見たコルモゴロフ問題において粘性の小さな場合に見られる奇妙な現象を解析した。技術的な観点から言えば特異摂動現象の一つなのであるが、一般論を同方程式に適用しようとしてもすぐにはうまくいかない。これについて、数値的・摂動論的手法を用いて研究した。一方で、流体力学には様々なモデル方程式が使われており、その数値解析手法の開発も重要である。非圧縮流体のモデル方程式では非線形のみならず、しばしば非局所性が本質的である。そうした非線形かつ非局所的な微分方程式の解の特異点を数値的に検証しようとすると困難に出くわす。そうした問題を数値的に解くための計算アルゴリズムの開発をめざした。以上のふたつのメインテーマを中心にナヴィエ・ストークス方程式の解を研究した。さらに、流体力学の運動方程式はしばしば非線形かつ非局所的である。この「非局所的」という性質は意外に忘れられがちであるが、やっかいな問題を引き起こす原因となる。特に、解の爆発あるいは不連続性が発生するような発展方程式を数値計算しようとすると悩ましい問題に出会う。非線形熱方程式 ならば問題は簡単である。実際、一番簡単な差分法で定性的かつ定量的な解析が可能である。これは、ある時刻・ある点で爆発が起きるとき、元々の解がある種の単調性を持ち、その単調性が差分法の解にも共有されるからである。しかし、分数べきの微分方程式についてはそうした離散化が開発されていない。本研究ではその開発もひとつの目標としている。