フレア理論を用いた古典ハミルトン系の研究

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本年度の一つ目の成果は,ユークリッド空間内の領域に対して,その単位余接束のフレアホモロジーをループ空間のホモロジー群を用いて表す公式を証明したことである.これは,閉多様体の単位余接束のフレアホモロジーがループ空間のホモロジーと同形であるという有名な結果(アヴォンダンドーロとシュワルツ等による)の「境界付多様体版」といえる.応用として,ユークリッド空間内の任意の領域に対して、その上の周期ビリヤード軌道の長さの最小値を評価する公式を得た.同様の結果は,数年前に修士論文において得られていたが,今回はより見通しのよい証明になっていて,また評価そのものも若干改良された.以上の成果について,論文"Symplectic homology of disc cotangent bundles of domains in Euclidean space"を執筆した(投稿中).二つ目の成果は,リュービル領域(境界付シンプレクティック多様体の重要なクラス)上のハミルトン力学系の周期解の研究についてである.先行研究として,リュービル領域がS1同変フレアホモロジーに関するある代数的な条件を満たせば,その上で定義されたハミルトン系は非自明な周期解を持つことが知られていた(ヴィテルボによる).フレアホモロジーは積や高次積などの代数構造を持つので,これらを用いてこの先行研究を発展させるのは自然なアイデアである.この方向で,新しい結果を見出したが,技術的に詰め切れていない点が残っている.これらに関して,S1同変フレアホモロジーの基礎づけにかかわる研究が進行中である.