絡み目の橋分解の研究

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絡み目の橋分解について、特にHempel距離を中心とした研究を行った。また、絡み目の橋分解と密接に関係した3次元多様体のヘガード分解のHempel距離についても研究を行った。その結果、次の様な成果を挙げた。1.研究代表者の小林、分担者の張は奈良女子大学の井戸絢子と3次元多様体のヘガード分解のHempel距離に関する共同研究を行い、与えられた自然数刀と8に対して種数8の曲面上の曲線複体内の長さnの測地線を構成し、その応用として、種数gのヘガード分解でHempel距離が丁度刀であるものが存在することを証明した。この結果について共著論文「Heegaard splittings of distance exactly n」にまとめている。2.D. Bachman-S. Schleimerの論文「Distance and bridge position」によって、3次元多様体内の結び目がその外部空間に本質的曲面を持つ場合、その結び目の任意の橋曲面のHempel距離を本質的曲面のオイラー票数を用いて上から評価できることが知られていた。研究分担者の張は、橋曲面や本質的曲面が球面の場合において、D. Bachman-S. Schleimerのによる距離の評価を改良した。特に、絡み目の橋分解の距離が3以上ならば、絡み目の補空間が双曲多様体であるだけでなく、絡み目に沿った3次元球面の二重分岐被覆が双曲多様体であることが従う。この結果について論文「Distance of bridge surfaces for links with essential meridional spheres」にまとめた。