局所体の代数的K理論と球面の安定ホモトピー群の構造の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

スペクトラムの圏を代数的に解釈する視点が本研究の主幹であり、特にその圏をBousfield局所化した状況の性質を見ることは1つの重要なステップとなる。本研究では、主にスペクトラムのホモトピー群、及び局所化した圏のBousfield束、Picard群といったものの解析を軸に置いてきた。スペクトラムのホモトピー群で最重要なものは球面スペクトラムのホモトピー群、即ち球面の安定ホモトピー群であるが、これについて、研究代表者は高知大学の下村克己氏との共同研究により、彩色レベル2の情報に関係するβ元と呼ばれるものについて新しい元の存在を示し、さらにそれと既に存在が知られている元との積を考えることにより無限の新しい非自明元を構成した。特に、Adams-Novikovフィルトレーションが5,6,8という高い部分から無限の非自明元が生き残っているということが読み取れる点が極めて興味深いと思われる。また、同じく高知大学の下村克己氏との共同研究により、Miller-Ravenel-Wilsonによる彩色手法のアイデアに基づき、新しい彩色スペクトル系列のE_1項の構造を決定し、その応用としてSmith-TodaスペクトラムV(2)のホモトピー群での非自明元を新しく無限個発見した。Bousfleld束の研究については、その概念を適当な圏の間の関手として再構成、および一般化し、この視点から従来の問題を見直した。特に、高知大学の下村克己氏と立原有太郎氏との共同研究により、レトラクト予想と呼ばれる1つの重要な問題をこの考えを元に一般化し、それが成立する為の適当な条件を与えた。その応用として、調和スペクトラムによりBousfield局所化されたスペクトラムの圏のBousfield束の構造の完全な決定と、レトラクト予想の成立を示した。Picard群については、高知大学の下村克己氏と川元祐奈氏との共同研究により上谷-下村により与えられていたJohnson-WilsonスペクトラムE(n)により局所化された圏のPicard群とE(n)-based AdamsE_2項との関係性の類似を、Morava K理論スペクトラムK(n)により局所化された圏のPicard群との間で与えた。さらに、「特別な可逆スペクトラム」という概念を定義し、これらがPicard群の構造の本質の一部をまかなうと信ずるに足る事実を与え、「全ての球面でないE(n)-可逆スペグトラムは特別である」という予想を提示した。