p進Hodge理論の高次元化

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本年度は、p進Hodge理論に現れることが予期されるFrobenius構造付き微分方程式の研究をおこなった。以下に詳しく述べる。B. Dworkはp進体上の単位開円盤上の有界関数を係数に持つ微分方程式Mに対し、解空間Vのlog増大フィルトレーションを定義した。このフィルトレーションは一般にはよい性質を持たないが、MがFrobenius構造という付加構造を持つ場合にDworkは、“Vのlog増大フィルトレーションはVのFrobenius傾きフィルトレーションと一致するだろう”、ということ1970年頃に予期した。Dworkの考察は2000年代後半にChiarellotto-Tsuzukiによって予想として定式化された。Chiarellotto-Tsuzukiの予想は、予想A : log増大フィルトレーションの有理性、予想B : Frobenius傾きフィルトレーションとの比較、の2つに分けられる。本年度は予想Aの証明を与え、プレプリントにまとめた。証明のあらすじを述べる : Chiarellotto-Tsuzukiは上記の予想A、Bを階数2の場合に証明した。彼らの手法は、技術的な仮定の下で階数一般の場合に中川貴裕により一般化された。私の証明では、Kedlayaの解析的環のテクニックを駆使して中川の結果を改良し、予想Aの証明に応用した。Kedlayaの環を使う副産物として、微分方程式の定義される環をいわゆる過収束級数のなす環に置き換えることに成功した。このことから、Dworkの理論とp進Hodge理論との結びつきが期待されたが、プレプリントではこの点を明らかするにはいたらなかった。