Elliptische und parabolische Randwertprobleme auf Gebieten mit nichttrivialer Topologie

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Seit mehr als 10 Jahren ist bekannt, dass die Lösungsstruktur superlinearer elliptischer Randwertprobleme in der Nähe singulärer Parameter entscheidend von der Topologie des zugrunde liegenden Gebietes abhängt. Diese Abhängigkeit ist Gegenstand umfangreicher Untersuchungen, welche sich aber fast ausschließlich auf die Menge der positiven Lösungen beschränken. So weiß man unter anderem, dass die Anzahl positiver Lösungen zunimmt, je komplizierter die Topologie des Gebietes ist. Ein Ziel des Projektes ist es, in ähnlicher Weise den Einfluss der Gebietstopologie auf die Anzahl und Gestalt vorzeichenwechselnder Lösungen zu untersuchen. Hierzu sollen variationelle Methoden mit Ideen aus der Theorie dynamischer Systeme und topologischer Methoden verknüpft werden. Der zweite Schwerpunkt des Projektes ist die Langzeitdynamik superlinearer parabolischer AnfangsRandwertprobleme. Ziel ist eine Klassifikation der Anfangsdaten globaler Lösungen in Bezug auf ihr asymptotisches Verhalten. Insbesondere soll die Lage vorzeichenwechselnder Gleichgewichtslösungen innerhalb der Menge dieser Anfangsdaten untersucht werden.