Integrable Systeme in der Theorie zweidimensionaler Wasserwellen, der Quantenoptik und der Allgemeinen Relativitätstheorie

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Solitonengleichungen sind für den Mathematiker wichtig als Beispiele unendlichdimensionaler Integrabler Systeme, für den Physiker als dynamische Grundgleichungen von Wellenphänomenen in den unterschiedlichsten Bereichen. Aufbauend auf Pionierleistungen von Marchenko und Gelfand haben die Antragsteller einen funktionalanalytischen Zugang zur Solitonentheorie entwickelt, dessen Stärke vor allem in der systematischen Konstruktion von Lösungen und der asymptotischen Untersuchung von deren Langzeitverhalten besteht. Das beantragte Projekt strebt an, mit diesen Methoden offene Fragen der aktuellen Forschung in folgenden drei Bereichen zu attackieren: In der Quantenoptik (Nichtlineare Schrödingergleichung) die Analyse von Multipol-Lösungen, in der Theorie zweidimensionaler Wasserwellen (Kadomtsev-Petviashvili-Gleichung) vor allem die gebundene Interaktion von Lump-Lösungen und in der Allgemeinen Relativitätstheorie (Ernstgleichung) einen Beitrag zum Verständnis der N-Solitonen. In allen drei Strängen zielt das Projekt letztlich auf Konstruktion und Studium konkreter Lösungen. Daher wird sich unsere Forschung auch auf Computerexperimente stützen.