Spectral properties of random Schroedinger operators and random operators on manifolds and graphs

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Gegenstand des Forschungsvorhabens sind zufällige Schrödingeroperatoren und ihre spektralen Eigenschaften. Die entsprechende Schrödingergleichung beschreibt quantenmechanisch die Bewegung von Elektronen in ungeordneten Festkörpern. Die spektralen Eigenschaften lassen Schlüsse auf die elektrischen Transporteigenschaften des betrachteten Mediums zu. Dieses Gebiet der mathematischen Physik hat in den letzten zwei Jahrzehnten eine rasante Entwicklung erfahren. Dadurch konnten einerseits wichtige Erkenntnisse aus der Festkörperphysik mathematisch erklärt werden. Andererseits hat sich dieses Forschungsgebiet auch für die Mathematik selbst als fruchtbar erwiesen: neuartige Methoden wurden entwickelt und unvermutete mathematische Phänomene entdeckt. In dem Forschungsprojekt sollen insbesondere zufällige Schrödingeroperatoren untersucht werden, die in nicht-monotoner und/oder singulärer Weise von den Zufalls-Parametern abhängen. Ebenso sollen einfache zufällige Vielteilchen-Modelle von Festkörpern untersucht werden. Das gemeinsame Ziel dieser beiden Themen ist, das mathematische Verständnis auf Modelle auszudehnen, die den physikalischen Gegebenheiten besser Rechnung tragen. Parallel dazu sollen die entwickelten Methoden genutzt werden, um neue Erkenntnisse über die Spektralgeometrie von periodischen und zufälligen Mannigfaltigkeiten und Graphen zu gewinnen.