非線形拡散方程式の解の漸近解析

テーマ１.O.D.E.型解の漸近解析非線形項が冪型吸収項と指数型吸収項の場合では、解の時間大域挙動には大きな違いがあったにも関わらず、解から常微分方程式の解を引いて線形化し、解の積分表示を用いて詳細な漸近解析を行う手法が有効であることに着目した。いずれのO.D.E.型解も第二次漸近形は常微分方程式の解と熱方程式の解で記述されるため、より広範な非線形項 F＝–f（f＞０）に対してO.D.E.型解が熱拡散の効果を受けると予想し、その非線形構造の解明に取り組んだ。冪型タイプと指数型タイプに分けて考察し、いずれのタイプにおいてもfの零点近傍での凸性が重要となる一方、指数型タイプではfの導関数の有界性を仮定する。これらの議論は比較原理を用いるため、分数冪ラプラス作用素にも適用できる。また、吸収項ではなく劣線形熱方程式の非線形項 F（s）＝s＾p（0テーマ２.非線形拡散方程式の解の高次漸近展開理論の構築石毛和弘氏、川上竜樹氏と共同研究を行い、例えば多重ラプラス作用素や分数冪ラプラス作用素が拡散項である場合を含むよう、積分核が持つ共通の性質を抜き出して抽象化し、熱核を一般化した積分核をもつ半線形拡散方程式を考察した。始めに、時間大域解の存在の最適な十分条件を与え、初期値の空間遠方での振舞いとの特徴付けをした。ここでは、初期値はルベーグ空間を含んでいる弱ルベーグ空間の元としたことで、ルベーグ空間では扱うことのできない臨界指数の場合を扱うことができる。さらに、半線形拡散方程式の初期値問題に対して、積分核のように振舞う時間大域解の高次漸近展開理論を構築した。具体例として、多重ラプラス作用素や分数冪ラプラス作用素を持つ半線形拡散方程式、粘性Hamilton-Jacobi 方程式に対する初期値問題に対して、本研究の議論が応用可能であることも示した。

テーマ１.O.D.E.型解の漸近解析非線形項が冪型吸収項と指数型吸収項の場合では、解の時間大域挙動には大きな違いがあったにも関わらず、解から常微分方程式の解を引いて線形化し、解の積分表示を用いて詳細な漸近解析を行う手法が有効であることに着目した。いずれのO.D.E.型解も第二次漸近形は常微分方程式の解と熱方程式の解で記述されるため、より広範な非線形項 F＝–f（f＞０）に対してO.D.E.型解が熱拡散の効果を受けると予想し、その非線形構造の解明に取り組んだ。冪型タイプと指数型タイプに分けて考察し、いずれのタイプにおいてもfの零点近傍での凸性が重要となる一方、指数型タイプではfの導関数の有界性を仮定する。これらの議論は比較原理を用いるため、分数冪ラプラス作用素にも適用できる。また、吸収項ではなく劣線形熱方程式の非線形項 F（s）＝s＾p（0テーマ２.非線形拡散方程式の解の高次漸近展開理論の構築石毛和弘氏、川上竜樹氏と共同研究を行い、例えば多重ラプラス作用素や分数冪ラプラス作用素が拡散項である場合を含むよう、積分核が持つ共通の性質を抜き出して抽象化し、熱核を一般化した積分核をもつ半線形拡散方程式を考察した。始めに、時間大域解の存在の最適な十分条件を与え、初期値の空間遠方での振舞いとの特徴付けをした。ここでは、初期値はルベーグ空間を含んでいる弱ルベーグ空間の元としたことで、ルベーグ空間では扱うことのできない臨界指数の場合を扱うことができる。さらに、半線形拡散方程式の初期値問題に対して、積分核のように振舞う時間大域解の高次漸近展開理論を構築した。具体例として、多重ラプラス作用素や分数冪ラプラス作用素を持つ半線形拡散方程式、粘性Hamilton-Jacobi 方程式に対する初期値問題に対して、本研究の議論が応用可能であることも示した。