無限領域における非線形拡散方程式の解が生成する散逸力学系の解明に向けて

無限領域における非線形拡散方程式の研究においては、進行波と呼ばれる一定波形で伝播する解の存在と安定性の研究が、中心的なテーマの一つである。しかし、解の無限次元力学系としての構造を理解するためには、進行波解の研究だけでは不十分である。進行波解を含む全域解として定義される広いクラスの解の存在について研究を発展させる必要がある。代表者の森田は、その共同研究者とロトカーボルテラ拡散競合系の全域解の存在を数学的に証明した。この成果は、全域解の研究をシステムの反応拡散方程式にも拡げる一歩として位置づけることができ、意義がある。また、多次元空間における双安定な反応拡散方程式の進行波について、これまで見つかっていなかった新しい進行波解の存在を、森田はその共同研究者と証明した。発見した進行波解は、双安定の方程式に関わらず、単安定の反応拡散方程式に現れる進行波のように、速度について連続な族を成している。この解の構造については、未知の部分があり、更なる研究の発展が期待できる。分担者の中村は、その共同研究者と非周期的な空間構造をもつ非有界領域上の反応拡散方程式から導かれる界面方程式について考察し、進行波解を全域解から構成するとともに、進行波解が平均速度を持つための境界形状の条件を明らかにした。これは非一様性が伝播速度に与える影響を数学的に明らかにした優れた研究である。また、中村は、均質化法のアイデアを適用することにより、環境変動が非常に小さいスケールで起こっている場合の単安定な反応拡散方程式の進行波解の伝播速度に関する公式を、従来よりも平易な方法で得られることを示した。

無限領域における非線形拡散方程式の研究においては、進行波と呼ばれる一定波形で伝播する解の存在と安定性の研究が、中心的なテーマの一つである。しかし、解の無限次元力学系としての構造を理解するためには、進行波解の研究だけでは不十分である。進行波解を含む全域解として定義される広いクラスの解の存在について研究を発展させる必要がある。代表者の森田は、その共同研究者とロトカーボルテラ拡散競合系の全域解の存在を数学的に証明した。この成果は、全域解の研究をシステムの反応拡散方程式にも拡げる一歩として位置づけることができ、意義がある。また、多次元空間における双安定な反応拡散方程式の進行波について、これまで見つかっていなかった新しい進行波解の存在を、森田はその共同研究者と証明した。発見した進行波解は、双安定の方程式に関わらず、単安定の反応拡散方程式に現れる進行波のように、速度について連続な族を成している。この解の構造については、未知の部分があり、更なる研究の発展が期待できる。分担者の中村は、その共同研究者と非周期的な空間構造をもつ非有界領域上の反応拡散方程式から導かれる界面方程式について考察し、進行波解を全域解から構成するとともに、進行波解が平均速度を持つための境界形状の条件を明らかにした。これは非一様性が伝播速度に与える影響を数学的に明らかにした優れた研究である。また、中村は、均質化法のアイデアを適用することにより、環境変動が非常に小さいスケールで起こっている場合の単安定な反応拡散方程式の進行波解の伝播速度に関する公式を、従来よりも平易な方法で得られることを示した。