スペクトル流の一般化と指数定理

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スペクトル流の研究と関連して二種類の研究を行った．まず，昨年に継続してトポロジカル相に数学的枠組を与える研究を進めた．Wignerの定理によると量子力学の対称性は線形／反線形なZ_2次数付き射影表現によって与えられる．これまでに，このような量子力学の対称性を持つ系に対して空間の距離構造に制御されたトポロジカル相の概念を導入し，それらに対して指数と呼ばれる不変量を定義していた．これは系が並進不変な時には結合スペクトル流の一般化にあたる．本年度は，特に系が空間反転対称性を持つ場合について，他の対称性との関係によって指数の値域がどう変化するか計算した．これはトポロジカル相の関数解析的な研究において新しい例を与える．また，スペクトル流の研究で重要な道具であったKK群を，より代数トポロジー的な設定で調べる研究を行った（荒野悠輝との共同研究）．二変数（コ）ホモロジー理論であるKK理論は，Kasparov積を合成とみなすことである圏の射の集合とみなせる．ここでは，この圏の三角圏の構造を用い，相対ホモロジー代数を適用して半直交分解を得た．そして，この分解の右成分は群作用の自由性に対応しており，対応するKK群の射は同変トポロジーにおけるAtiyah-Segal完備化定理と関係していることを観察した．この結果を動機としてC*環への群作用の分類に関する研究を行った．分類可能な群作用のクラスにRokhlin性があるが，上記の自由性のホモロジー代数的な記述は連続Rokhlin性と呼ばれるその亜種がより扱いやすいクラスであることを示唆する．ここでは基本群に捩れのない連結コンパクトLie群のKirchberg環への連続Rokhlin性を持つ作用を完全に分類した．より正確には，このような作用が実質一種類しか存在しないことを示した．証明にはその双対である離散量子群のBaum-Connes予想などを用いた．