曲面のスケイン代数、ゴールドマン・リー代数および写像類群の相互関係の研究

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この研究の目的は、スケイン代数を用いて２次元におけるトポロジーの研究と３次元のトポロジーの研究を結びつけることである。スケイン代数は２次元トポロジーにおいては、ゴールドマン・リー代数を深化させた対象と思うことができる。また３次元トポロジーにおいてはカウフマン・ブラケットやHOMFLY-PT多項式といった多項式絡み目不変量をハンドルボディの絡み目の研究に拡張したものとみなすことができる。この研究では、スケイン代数の２次元トポロジーと３次元トポロジーの二つの見方により、２次元トポロジーと３次元トポロジーの研究を行った。著者は修士課程において、河澄-久野、マシュヨ-テュラエフの研究で得られたゴールドマン・リー代数と基本群の研究のアナロジーとして、カウフマン・ブラケット・スケイン加群へのデーン・ツィストの作用をカウフマン・ブラケット・スケイン代数の作用で記述する公式を得た。デーン・ツィストは、曲面の研究で中心的な役割をする写像類群を生成する元である。一年目の研究では、カウフマン・ブラケット・スケイン代数におけるデーン・ツイストの公式を用いて、トレリ群から完備化されたカウフマン・ブラケット・スケイン代数への埋め込みを構成した。この埋め込みは次の二つの意味を持つ。一つ目は、写像類群に正規部分群からなる新しいフィルトレーションを入れることができたことである。二つ目は整係数ホモロジー3-球面の不変量の構成ができたことである。さらに、１年目の研究を踏まえて、２年目の研究では、カウフマン・ブラケット・スケイン代数で行った研究のアナロジーとしてHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数において研究を行った。これらを踏まえて３年目の研究では、HOMFLY-PTタイプ・スケイン代数の研究とカウフマン・ブラケット・スケイン代数の研究を明確に結びつけた。