多様体対への可微分写像に対する有限型不変量の定式化とその応用

本年度は,同境理論の観点と,有限型不変量との観点との関連を調べるのが重要な目的の一つであった.そこで,多様体から円周へのモース写像を考え,その同境群を,曲面への安定写像のカスプ特異点消去の方法を駆使することにより,完全に決定することに成功した.この結果は直接的に有限型不変量の定式化に役立つものではないが,多様体に対する有限型不変量の基本が同境関係であることを考えると,将来的に定式化に役立つことが十分に期待できる.なお,この結果は多様体から円周への写像の大域的性質に関するものであるが,それが,平面へのジェネリックな写像芽という局所的な対象の研究にも役立つことが示された.具体的には,与えられた写像芽を安定摂動したときに現れるカスプの符号付き個数が,安定摂動の仕方によらずに定まり,さらにもとの写像芽の位相不変量となることを示すことができたのである.このことは,1点の逆像を考えるとき,特異多様体の位相的不変量を与えているともみなすことができ,有限型不変量へとつながる可能性が高い.また,特異写像を用いて4次元同境群についても研究を行い,複素射影平面が自然な生成元となる無限巡回群であることを,まったく新しい観点から証明することにも成功した.その結果,既存の,特異ファイバーによる符号数公式に新しい証明を与えることもできた.このアイデアは,特異ファイバーのまわりに多様体を対応させるものであり,有限型不変量の定式化にこうしたアイデアが使えることが十分に期待できる.このように,今年度の研究により十分な成果が得られたと言うことができる.

本年度は,同境理論の観点と,有限型不変量との観点との関連を調べるのが重要な目的の一つであった.そこで,多様体から円周へのモース写像を考え,その同境群を,曲面への安定写像のカスプ特異点消去の方法を駆使することにより,完全に決定することに成功した.この結果は直接的に有限型不変量の定式化に役立つものではないが,多様体に対する有限型不変量の基本が同境関係であることを考えると,将来的に定式化に役立つことが十分に期待できる.なお,この結果は多様体から円周への写像の大域的性質に関するものであるが,それが,平面へのジェネリックな写像芽という局所的な対象の研究にも役立つことが示された.具体的には,与えられた写像芽を安定摂動したときに現れるカスプの符号付き個数が,安定摂動の仕方によらずに定まり,さらにもとの写像芽の位相不変量となることを示すことができたのである.このことは,1点の逆像を考えるとき,特異多様体の位相的不変量を与えているともみなすことができ,有限型不変量へとつながる可能性が高い.また,特異写像を用いて4次元同境群についても研究を行い,複素射影平面が自然な生成元となる無限巡回群であることを,まったく新しい観点から証明することにも成功した.その結果,既存の,特異ファイバーによる符号数公式に新しい証明を与えることもできた.このアイデアは,特異ファイバーのまわりに多様体を対応させるものであり,有限型不変量の定式化にこうしたアイデアが使えることが十分に期待できる.このように,今年度の研究により十分な成果が得られたと言うことができる.