ＬＭＯ関手の視点からみたスケイン代数による写像類群と有限型不変量の研究

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令和元年度の研究では、テュラエフが1990年に導入したあるスケイン代数（ここでは、ブラケット・スケイン代数と呼ぶ）を用いた研究が中心であった。令和元年度の研究では、ブラケット・スケイン代数の値をとるホモロジー・シリンダーの不変量を構成した。この不変量は、ホモロジー・シリンダーの完備基本群への作用と同値である。このブラケット・スケイン代数での研究は、基本群の研究の新たなアプローチとして評価できるが、基本群の情報しか持たないことが問題点である。令和２年度の研究では、他のスケイン代数でホモロジー・シリンダーの不変量を構成することができた。この不変量は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数や、HOMFLY-PTスケイン代数で構成ができた。カウフマン・ブラケット・スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は基本群のsl(2) 表現と sl(2) 大槻級数二つの情報を持つことが分かった。さらに、HOMFLY-PT スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は基本群の情報と sl(N)大槻級数すべての情報を持つことが分かった。このように、これらのスケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は量子トポロジーの情報も持っている。この不変量は、二つの側面を持つ。一つ目は、ブラケット・スケイン代数の不変量を精密化していることである。二つ目は、整係数ホモロジー球面の不変量である大槻級数をホモロジー・シリンダーに拡張したという側面である。実際、このスケイン代数の不変量の構成の仕方は、整係数ホモロジー球面の集合を閉円盤を底面とするホモロジー・シリンダーの集合とみなした時に、カウフマン・ブラケット・スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は sl(2) 大槻級数と一致し、さらに、HOMFLY-PTスケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量を全てのsl(N)大槻級数と一致する。