簡約化したスケイン代数とデーン・ツィストの公式による低次元トポロジーの研究

報告者の研究はスケイン代数に関する研究である。量子不変量を定義することができる局所的なタングルの関係式をスケイン関係式と呼び、向きづけられた３次元多様体の中の絡み目を基底とした自由加群をこのスケイン関係式で割った商加群をスケイン加群と呼ぶ。さらに、この３次元多様体が向きづけられた曲面と閉区間の積多様体であるとき、上下に絡み目を重ねることによりスケイン加群に代数構造をいれることができ、その代数をスケイン代数と呼ぶ。スケイン代数を用いて、曲面の写像類群と量子不変量の関係を明らかにすることを目標としていて、そのためにはスケイン代数の代数構造にも注目して研究している。スケイン代数には、いくつかの種類がある。カウフマン・ブラケットと呼ばれる量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をカウフマン・ブラケット・スケイン代数と呼び、ここではSと書く。リー代数であるsl(N)の量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をここではS(sl(N))と書くことにする。同じように、リー代数であるgl(N)の量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をここではS(gl(N))と書くことにする。さらに、HOMFLY-PT多項式に対応したスケイン代数をHOMFLY-PTスケイン代数と呼び、ここではS(HOMFLY-PT)と書くことにする。スケイン代数においては、Sは有限生成であることは既に知られている。また、S(HOMFLY-PT)はゴールドマン・リー代数の対称テンソル代数への全射を使い、位相的にも有限生成でないことが示せる。そこで、中間の複雑さであるS(sl(N)とS(gl(N))が有限生成であるか、または位相的に有限生成であるかという問題を考えることができる。本年の研究では、有限生成であることはわからなかったが、位相的に有限生成であることが分かった。

報告者の研究はスケイン代数に関する研究である。量子不変量を定義することができる局所的なタングルの関係式をスケイン関係式と呼び、向きづけられた３次元多様体の中の絡み目を基底とした自由加群をこのスケイン関係式で割った商加群をスケイン加群と呼ぶ。さらに、この３次元多様体が向きづけられた曲面と閉区間の積多様体であるとき、上下に絡み目を重ねることによりスケイン加群に代数構造をいれることができ、その代数をスケイン代数と呼ぶ。スケイン代数を用いて、曲面の写像類群と量子不変量の関係を明らかにすることを目標としていて、そのためにはスケイン代数の代数構造にも注目して研究している。スケイン代数には、いくつかの種類がある。カウフマン・ブラケットと呼ばれる量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をカウフマン・ブラケット・スケイン代数と呼び、ここではSと書く。リー代数であるsl(N)の量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をここではS(sl(N))と書くことにする。同じように、リー代数であるgl(N)の量子不変量に対応して定義されるスケイン代数をここではS(gl(N))と書くことにする。さらに、HOMFLY-PT多項式に対応したスケイン代数をHOMFLY-PTスケイン代数と呼び、ここではS(HOMFLY-PT)と書くことにする。スケイン代数においては、Sは有限生成であることは既に知られている。また、S(HOMFLY-PT)はゴールドマン・リー代数の対称テンソル代数への全射を使い、位相的にも有限生成でないことが示せる。そこで、中間の複雑さであるS(sl(N)とS(gl(N))が有限生成であるか、または位相的に有限生成であるかという問題を考えることができる。本年の研究では、有限生成であることはわからなかったが、位相的に有限生成であることが分かった。