Gitterpolytope, insbesondere Triangulierungs- und Überdeckungseigenschaften. Beziehungen zu torischen Varietäten und String Theorie

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Die Projekte sind motiviert durch Fragestellungen aus der kommutativen Algebra, algebraischen Geometrie, aus der ganzzahligen Optimierung, aus der theoretischen Physik/String Theorie und aus der diskreten Geometrie. Die Methoden sind überwiegend diskret geometrisch. - Existenz unimodularer Triangulierungen (und/oder verwandter Überdeckungen): Insbesondere sollen notwendige Kriterien entwickelt und systematisch nach interessanten (Gegen-)Beispielen gesucht werden. - Gitterweite leere Simplices: Eine durch Computerexperimente gefundene Liste 4-dimensionaler Beispiele soll auf Vollständigkeit untersucht werden. Unimodulare Triangulierungen von Vielfachen dieser Simplices (und allgemeiner 4-dimensionaler Polytope) sollen konstruiert werden. Können die Methoden für ähnliche Versuche in Dimension 5 verallgemeinert werden? - Reflexive Polytope: Das vom Antragsteller mit Zharkov entwickelte kombinatorische Modell für Strominger-Yau-Zaslow Faserungen von Batyrevs Hyperflächen soll auf vollständige Durchschnitte ausgeweitet werden. Darüber hinaus ist der Link jeder Ecke in einer unimodularen Triangulierung (siehe oben) ein verallgemeinertes reflexives Polytop. - SL (Z) Differentialgeometrie: Für Gauß-Bonnet Formeln 2- und 3-dimensionlaer reflexiver Polytope soll ein einheitlicher kombinatorischer Beweis gefunden werden, der eine Verallgemeinerung auf polytopale Komplexe in höheren Dimensionen erlaubt. Die "richtige" Definition einer (tropischen?) Metrik könnte helfen, die oben genannten Faserungskonstruktionen besser zu verstehen.