任意標数の射影幾何と基本的射影多様体の特徴づけ

任意特征射影几何表征及基本射影簇

• 批准号: 16J00404
• 负责人: 古川 勝久
• 金额: $ 2.58万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2016
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2016-04-22 至 2019-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J00404/
• 关键词: ガウス写像; 射影双対; 3次超曲面; Severi多様体; secant多様体; 有理曲線族; 期待次元; Fano超曲面; 代数多様体の特徴づけ; 超曲面上の有理曲線族; 分離的な高次ガウス写像; 射影双対の退化; トーリック多様体

本年度はガウス写像および射影双対による射影多様体の研究について, 特に, 射影空間内の3次超曲面 X を射影双対の退化によって特徴づける問題に着目して研究を行った. 背景として, 射影双対X^*が非特異かつ退化する場合のXの分類が成されている一方で, X^*が特異な場合をふくめると現状において完全な分類はなされていないことがあった. 一方で, Hessian消滅するなら常に射影退化することが知られていることから, Hessian消滅する5次元以下の3次超曲面についての分類結果や, Severi多様体のsecant多様体として現れる3次超曲面上の自己同型に関する研究などを参照しながら, 研究出張によって最新の研究について情報収集するとともに様々な研究者と意見交換を行なうことで考察を深めて行った. その成果として, 射影双対の退化による3次超曲面内の contact locus による線織構造と特異点集合との関係について, 射影幾何的な記述を与えた.また, 射影空間内 P^N 内の射影多様体 X のセグレ軌跡の研究を行った. セグレ軌跡とは, P^N の点 z であってそこからの点射影が X からその像への双有理射とならないようなものの集合について, Zariski閉包を取ったものを言う. 標数零ではセグレ軌跡は必ず線型多様体の和集合となるが, 正標数では反例が存在することが知られていた. そうしたセグレ軌跡の既約成分の個数についての考察や, また正標数における状況の研究を進めるため, 完全交叉のような具体例について計算するなどして調査を実施した.

This year, we will focus on the study of projective polyhedron in projective space, especially on the problem of the degeneration of projective bipartite hypersurface X in projective space. Background, projective double X^* is non-specific, degenerate, and the classification of X is complete. In one case, Hessian elimination is the result of classification of cubic hypersurfaces of degree 5 or less, and the study of their own isotypes on cubic hypersurfaces of degree 5 or less is the result of reference. The latest research findings are collected from researchers and exchange of views. As a result, the description of projective geometry has been made possible by the relationship between the thread structure and the set of singular points in the contact locus within the cubic hypersurface during the degeneration of the projective pair. A study on the locus of projective multiplicity X in P^N in projective space is presented. The locus of the point z of P^N The index number zero is opposite to the locus, and the linear manifold is opposite to the set. The number of reduced components of the track is investigated, and the positive standard number is studied. The investigation is carried out.

项目成果

On Gauss Maps in Positive Characteristic in View of Images, Fibers, and Field Extensions

从图像、光纤和场扩展的角度论正特性高斯图

• DOI: 10.1093/imrn/rnw080
• 发表时间: 2017
• 期刊: International Mathematics Research Notices
• 影响因子: 1
• 作者: Furukawa Katsuhisa;Ito Atsushi
• 通讯作者: Ito Atsushi

m 次ガウス写像と小次元射影双対多様体

m阶高斯映射和小维射影对偶流形

• 发表时间: 2016
• 作者: Furukawa Katsuhisa;Ito Atsushi;Katsuhisa Furukawa and Atsushi Ito;K. Furukawa;K. Furukawa;古川勝久;古川勝久
• 通讯作者: 古川勝久

Dimension of the space of conics on Fano hypersurfaces

Fano 超曲面上二次曲线空间的维数

• 发表时间: 2017
• 作者: Furukawa Katsuhisa;Ito Atsushi;Katsuhisa Furukawa and Atsushi Ito;K. Furukawa;K. Furukawa;古川勝久
• 通讯作者: 古川勝久

非特異 Fano 超曲面上の 2 次曲線族の次元について

关于非奇异 Fano 超曲面上二次曲线族的维数

• 发表时间: 2016
• 作者: Furukawa Katsuhisa;Ito Atsushi;Katsuhisa Furukawa and Atsushi Ito;K. Furukawa;K. Furukawa;古川勝久;古川勝久;古川勝久;古川勝久;古川勝久
• 通讯作者: 古川勝久

Fano 超曲面上の二次曲線族の次元について

关于 Fano 超曲面上圆锥族的尺寸

• 发表时间: 2016
• 作者: Furukawa Katsuhisa;Ito Atsushi;Katsuhisa Furukawa and Atsushi Ito;K. Furukawa;K. Furukawa;古川勝久;古川勝久;古川勝久
• 通讯作者: 古川勝久