任意標数の射影幾何と基本的射影多様体の特徴づけ

本年度はガウス写像および射影双対による射影多様体の研究について, 特に, 射影空間内の3次超曲面 X を射影双対の退化によって特徴づける問題に着目して研究を行った. 背景として, 射影双対X^*が非特異かつ退化する場合のXの分類が成されている一方で, X^*が特異な場合をふくめると現状において完全な分類はなされていないことがあった. 一方で, Hessian消滅するなら常に射影退化することが知られていることから, Hessian消滅する5次元以下の3次超曲面についての分類結果や, Severi多様体のsecant多様体として現れる3次超曲面上の自己同型に関する研究などを参照しながら, 研究出張によって最新の研究について情報収集するとともに様々な研究者と意見交換を行なうことで考察を深めて行った. その成果として, 射影双対の退化による3次超曲面内の contact locus による線織構造と特異点集合との関係について, 射影幾何的な記述を与えた.また, 射影空間内 P^N 内の射影多様体 X のセグレ軌跡の研究を行った. セグレ軌跡とは, P^N の点 z であってそこからの点射影が X からその像への双有理射とならないようなものの集合について, Zariski閉包を取ったものを言う. 標数零ではセグレ軌跡は必ず線型多様体の和集合となるが, 正標数では反例が存在することが知られていた. そうしたセグレ軌跡の既約成分の個数についての考察や, また正標数における状況の研究を進めるため, 完全交叉のような具体例について計算するなどして調査を実施した.

本年度はガウス写像および射影双対による射影多様体の研究について, 特に, 射影空間内の3次超曲面 X を射影双対の退化によって特徴づける問題に着目して研究を行った. 背景として, 射影双対X^*が非特異かつ退化する場合のXの分類が成されている一方で, X^*が特異な場合をふくめると現状において完全な分類はなされていないことがあった. 一方で, Hessian消滅するなら常に射影退化することが知られていることから, Hessian消滅する5次元以下の3次超曲面についての分類結果や, Severi多様体のsecant多様体として現れる3次超曲面上の自己同型に関する研究などを参照しながら, 研究出張によって最新の研究について情報収集するとともに様々な研究者と意見交換を行なうことで考察を深めて行った. その成果として, 射影双対の退化による3次超曲面内の contact locus による線織構造と特異点集合との関係について, 射影幾何的な記述を与えた.また, 射影空間内 P^N 内の射影多様体 X のセグレ軌跡の研究を行った. セグレ軌跡とは, P^N の点 z であってそこからの点射影が X からその像への双有理射とならないようなものの集合について, Zariski閉包を取ったものを言う. 標数零ではセグレ軌跡は必ず線型多様体の和集合となるが, 正標数では反例が存在することが知られていた. そうしたセグレ軌跡の既約成分の個数についての考察や, また正標数における状況の研究を進めるため, 完全交叉のような具体例について計算するなどして調査を実施した.