Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties

任意特征的射影几何及其在基本代数簇中的应用

• 批准号: 22K03236
• 负责人: 古川 勝久
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Josai University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03236/
• 关键词: 高階Secant多様体の特異点; Veronese多様体; 対称テンソルの分解の階数; 任意標数の代数多様体の射影幾何学; 代数多様体上の直線族(パラメーター空間); ガウス写像; 射影双対性; 高階secant多様体; トーリック多様体; 任意標数の射影幾何学

代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点などの性質について研究を行った.最初は階数k=1,2などの小さいkに関してk-secant多様体の調査を進めた. つぎに, それを一般のkに拡張しようとした際, k-secant多様体のincidence多様体にあらわれるある種のファイバーの次元が増大することから, 状況が複雑化して小さいkの場合と同様には議論を進められないことが明らかになった. この問題に対応するため, 接空間の様相を観察する射影幾何的手法について, 一層の精密化の必要性に迫られた.そうした点について, 具体例の計算や一般的状況での考察を行うことで, 手法を改善し一つづつ問題点を解消して, 研究を前進させることができた. 成果として, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kごとに, いつどのような特異点が現れるか, あるいは現れないかの分類を得られた.以上のように研究が進展する中, 一方で, 細かな分類の対象が増加した結果として, 個々のケースについての幾何学的・あるいは対称テンソル等による代数的な考察を行うことにもなった. 特にいくつかの例外的な場合については, 高階secant多様体の複雑な定義多項式系の一部を得る必要があり, 幾何学的な状況による推論のもと, 計算機代数システムを利用したプログラムを使用することで, そうした式を得ることに成功した.また, Fano超曲面上の2次曲線族(パラメーター空間)の次元の調査について研究を行った. そこでは最後の段階で, ある次元の超曲面上の具体的な幾何の議論に帰着することになり, 射影幾何的な手法を用いることで問題解決に繋げられた.

Algebra others more body の projective geometry study と し て, Gauss write like · projective double moral sex な ど に も と づ く を use い geometric gimmick, Veronese others more body の higher-order secant others body の specific more な ど の nature に つ い を line っ て research た. Initial は order number k = 1, 2 な ど の small さ い k に masato し て k - secant を の investigation into how others body め た. つ ぎ に, そ れ を general の k に company, zhang し よ う と し た interstate, k - secant others more body の incidence more others body に あ ら わ れ る あ る kind の フ ァ イ バ ー の dimensional が raised large す る こ と か ら, Condition が after 雑 し て small さ い k と の occasions with others に は comment を into め ら れ な い こ と が Ming ら か に な っ た. こ の problem に 応 seaborne す る た め, connect space の others in phase を 観 examine す る of projective geometry に つ い て, a layer of の motors の necessity forced に ら れ た. そ う し た point に つ い て, Concrete example の computing や general situation で の line inspection を う こ と で, technique を improves し a つ づ つ problem point を null し て, research を forward さ せ る こ と が で き た. Results と し て, Veronese, others body の dimensional frequency や, k - secant の order Numbers in the many others k ご と に, い つ ど の よ う な specific point が now れ る か, あ る い は now れ な い か の category を ら れ た. Above の よ う に research が す る, one party で, fine か な classification の like が raised seaborne plus し た results と し て, a 々 の ケ ー ス に つ い て の geometry · あ る い は said seaborne テ ン ソ ル etc に よ る algebra な line inspection を う こ と に も な っ た. , に い く つ か の exception な occasions に つ い て は, high-order secant の after many others body 雑 な define polynomial is の a を る necessarily が あ り, condition of geometry な に よ る inference の も と, computer algebra シ ス テ ム を using し た プ ロ グ ラ ム を use す る こ と で, そ う し た type を must る こ と に successful し た. ま た, Fano hypersurface の twice on the family of curves (パ ラ メ ー タ ー space) の dimensional の survey に つ い を line っ て research た. そ こ で は finally の Duan Jie で, あ る dimensional の の specific な on hypersurface geometry の comment に 帰 the す る こ と に な り, projective geometry な gimmick を with い る こ と で problem solving に 繋 げ ら れ た.

项目成果

Dimension of the space of conics on a Fano hypersurface

Fano 超曲面上二次曲线空间的维数

• DOI: 10.1016/j.jpaa.2021.106970
• 发表时间: 2022
• 期刊: Journal of Pure and Applied Algebra
• 影响因子: 0.8
• 作者: Kentaro Nakamura;Kentaro Nakamura;中村 健太郎;Furukawa Katsuhisa
• 通讯作者: Furukawa Katsuhisa