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Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties

任意特征的射影几何及其在基本代数簇中的应用

基本信息

批准号：
22K03236
负责人：
古川勝久
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Josai University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03236/
关键词：
高階Secant多様体の特異点 Veronese多様体対称テンソルの分解の階数任意標数の代数多様体の射影幾何学代数多様体上の直線族(パラメーター空間)ガウス写像射影双対性高階secant多様体トーリック多様体任意標数の射影幾何学

项目摘要

代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点などの性質について研究を行った.最初は階数k=1,2などの小さいkに関してk-secant多様体の調査を進めた. つぎに, それを一般のkに拡張しようとした際, k-secant多様体のincidence多様体にあらわれるある種のファイバーの次元が増大することから, 状況が複雑化して小さいkの場合と同様には議論を進められないことが明らかになった. この問題に対応するため, 接空間の様相を観察する射影幾何的手法について, 一層の精密化の必要性に迫られた.そうした点について, 具体例の計算や一般的状況での考察を行うことで, 手法を改善し一つづつ問題点を解消して, 研究を前進させることができた. 成果として, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kごとに, いつどのような特異点が現れるか, あるいは現れないかの分類を得られた.以上のように研究が進展する中, 一方で, 細かな分類の対象が増加した結果として, 個々のケースについての幾何学的・あるいは対称テンソル等による代数的な考察を行うことにもなった. 特にいくつかの例外的な場合については, 高階secant多様体の複雑な定義多項式系の一部を得る必要があり, 幾何学的な状況による推論のもと, 計算機代数システムを利用したプログラムを使用することで, そうした式を得ることに成功した.また, Fano超曲面上の2次曲線族(パラメーター空間)の次元の調査について研究を行った. そこでは最後の段階で, ある次元の超曲面上の具体的な幾何の議論に帰着することになり, 射影幾何的な手法を用いることで問題解決に繋げられた.

Study on the projective geometry of algebraic polyhedrons, Gauss's method of writing images and projective bi-dimensional properties, and use it. Veronese multi-body's high-order secant multi-body's unique point and its properties research and developmentた.The initial order k=1,2などの小さいkに关してk-secant多様体のinvestigationを入めた.つぎに, それをgeneralのkに拡张しようとした间, k-secant 多様体のincidence 多様体にあらわれるあるkind のファイバーのdimensional が Increase大することから, The situation has changed, the situation has changed, the situation has changed, and the situation has changed.このquestionに対応するため, connect the space の様phase を観看するtechnique of projective geometry について, One level of precision is necessary, and the details of the points and calculations, the calculation of specific examples, the general situation, and the inspection of the line, Techniques are improved, problem points are solved, and research is advanced, and results are achieved. Veronese multi-dimensional body, degree k-secant multi-body order k,あるいはappears and れないかのclassificationをgetsられた.The above のように research progressする中, one party で, fine かなclassification の対 resemble がincrease plus した results として, A 々のケースについてのgeometry・あるいは対called a テンソルによるなinvestigation of algebra を行うことにもなった.特にいくつかのexceptional occasionsについては, high-order secant polynomials のcomplex 曑なdefinition polynomial system のpart をget るnecessary があり, The situation of geometry, the inference, the use of computer algebra,そうした formula をget ることにsuccess した.また, のdimensional investigation of the family of quadratic curves on the Fano hypersurface (パラメーターspace) のdimensional investigation について research を行った.そこではlast stageで, あるdimensional hypersurface のconcrete geometry discussion に帰之することになり, The technique of projective geometry is a problem-solving method.