Projective geometry in arbitrary characteristic and its application to fundamental algebraic varieties

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代数多様体の射影幾何研究として, Gauss写像・射影双対性などにもとづく幾何的手法を用い, Veronese多様体の高階secant多様体の特異点などの性質について研究を行った.最初は階数k=1,2などの小さいkに関してk-secant多様体の調査を進めた. つぎに, それを一般のkに拡張しようとした際, k-secant多様体のincidence多様体にあらわれるある種のファイバーの次元が増大することから, 状況が複雑化して小さいkの場合と同様には議論を進められないことが明らかになった. この問題に対応するため, 接空間の様相を観察する射影幾何的手法について, 一層の精密化の必要性に迫られた.そうした点について, 具体例の計算や一般的状況での考察を行うことで, 手法を改善し一つづつ問題点を解消して, 研究を前進させることができた. 成果として, Veronese多様体の次元・次数やk-secant多様体の階数kごとに, いつどのような特異点が現れるか, あるいは現れないかの分類を得られた.以上のように研究が進展する中, 一方で, 細かな分類の対象が増加した結果として, 個々のケースについての幾何学的・あるいは対称テンソル等による代数的な考察を行うことにもなった. 特にいくつかの例外的な場合については, 高階secant多様体の複雑な定義多項式系の一部を得る必要があり, 幾何学的な状況による推論のもと, 計算機代数システムを利用したプログラムを使用することで, そうした式を得ることに成功した.また, Fano超曲面上の2次曲線族(パラメーター空間)の次元の調査について研究を行った. そこでは最後の段階で, ある次元の超曲面上の具体的な幾何の議論に帰着することになり, 射影幾何的な手法を用いることで問題解決に繋げられた.