無限型リーマン面間の擬等角同値性について

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普遍タイヒミュラー空間Tは上半平面の擬等角変形を記述する空間である.2010年にBonsante--Schlenkerらは, 任意のタイヒミュラー同値類に対し極小ラグランジュな擬等角変形を代表元として選ぶことができることを示した. 極小ラグランジュという条件の等角構造に対する自然性を考慮すれば, Bonsante--Schlenkerの結果は次のように一般化できる; 任意の双曲的リーマン面間の擬等角写像は極小ラグランジュな擬等角写像に(理想)境界を止めてホモトピックである. 従って, Bonsante--Schlenkerの結果は無限型リーマン面の擬等角変形の研究に深く関わってくる. 特にこの結果は, 一般の双曲型リーマン面Rに対し, そのタイヒミュラー空間T(R)(同相写像の同値類の空間)からR上のベルトラミ係数の空間((-1,1)形式の空間)への大域切断が得られたことを意味する. つまり同相写像の同値類の空間であるタイヒミュラー空間をある種の関数空間であるベルトラミ係数の空間の部分空間とみなすことができるのである. 従って, この大域切断がどのような性質(連続性, 滑らかさ, 実または複素解析性など)を持つのかということは非常に興味深い問題である.本年度は, Tが上半平面上のベルトラミ係数の空間Bの部分空間としてどのように表されるか研究を行った. 即ち, 極小ラグランジュ擬等角写像のベルトラミ係数を特徴付けるというものである. その研究結果として, ラグランジュ性をもつ擬等角写像に対して, その極小性をベルトラミ係数のみの条件で特徴付けるという進展を得た. 従って, 残る課題はラグランジュ性をベルトラミ係数の条件として言い換えるということになる.