完全非線形放物型方程式の粘性解理論

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今年度は, 低階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式の両側障害問題のLp粘性解の正則性と存在の研究を行った. 発散型の障害問題は数多く研究されているが, 非発散型に関しては全く研究が進んでいなかった. Duqueによるプレプリントで, 最も単純な非発散型方程式の両側障害問題に対して, 障害物の正則性が低い場合の粘性解の正則性が示されたが, 彼の方法では方程式の平行移動不変性が必要であり, 変数係数を持つ方程式の場合に適用することが難しい. 我々の証明法によって, 二階微分項に変数係数を持ち, 一階微分係数と非斉次項が非有界の場合に一般化できた. 証明の鍵は, 両側障害問題に対して, 上下の障害物に触れないように, 粘性優解と粘性劣解に異なる摂動を施し, それらの振動を評価する際に弱Harnack不等式を用いることである. これにより, 障害物が連続である場合のLp粘性解の同程度連続性を導いた. この評価を利用し, 障害物が連続という仮定だけで, Lp粘性解の存在を示した. この研究に関する論文を現在投稿中である. また, 本論文は小池茂昭教授との共著論文である. さらに, 完全非線形放物型方程式のLp粘性解に対して, 上記の研究に対応する正則性および存在の結果を得た. 楕円型に対する結果との大きな違いは, 空間微分に対する局所ヘルダー連続評価の方法である. 放物型の弱Harnack不等式の積分領域と最小値をとる領域が時間に関してずれているため上の研究での方法は適用できない. そこで, Shahgholian（2008）の方法を参考にしてLp粘性解の空間微分に対する局所ヘルダー連続性を示した. 上記の研究では, 二つの障害物は接しないという仮定をしていたが, その仮定を楕円型でも放物型でも取り除くことができた. この研究に関する論文を現在執筆中である.