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完全非線形放物型方程式の粘性解理論

全非线性抛物型方程的粘性解理论

基本信息

批准号：
16J02399
负责人：
舘山翔太
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2016
资助国家：
日本
起止时间：
2016-04-22 至 2019-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-16J02399/
关键词：
粘性解正則性両側障害問題完全非線形放物型方程式 Lp粘性解弱ハルナック不等式非有界係数フラグメン・リンデレーフの定理ハルナック不等式最大値原理完全非線形方程式カルデロン・ジグムントの評価 Lp正則性

项目摘要

今年度は, 低階微分項に非有界係数を持つ完全非線形一様楕円型方程式の両側障害問題のLp粘性解の正則性と存在の研究を行った. 発散型の障害問題は数多く研究されているが, 非発散型に関しては全く研究が進んでいなかった. Duqueによるプレプリントで, 最も単純な非発散型方程式の両側障害問題に対して, 障害物の正則性が低い場合の粘性解の正則性が示されたが, 彼の方法では方程式の平行移動不変性が必要であり, 変数係数を持つ方程式の場合に適用することが難しい. 我々の証明法によって, 二階微分項に変数係数を持ち, 一階微分係数と非斉次項が非有界の場合に一般化できた. 証明の鍵は, 両側障害問題に対して, 上下の障害物に触れないように, 粘性優解と粘性劣解に異なる摂動を施し, それらの振動を評価する際に弱Harnack不等式を用いることである. これにより, 障害物が連続である場合のLp粘性解の同程度連続性を導いた. この評価を利用し, 障害物が連続という仮定だけで, Lp粘性解の存在を示した. この研究に関する論文を現在投稿中である. また, 本論文は小池茂昭教授との共著論文である. さらに, 完全非線形放物型方程式のLp粘性解に対して, 上記の研究に対応する正則性および存在の結果を得た. 楕円型に対する結果との大きな違いは, 空間微分に対する局所ヘルダー連続評価の方法である. 放物型の弱Harnack不等式の積分領域と最小値をとる領域が時間に関してずれているため上の研究での方法は適用できない. そこで, Shahgholian（2008）の方法を参考にしてLp粘性解の空間微分に対する局所ヘルダー連続性を示した. 上記の研究では, 二つの障害物は接しないという仮定をしていたが, その仮定を楕円型でも放物型でも取り除くことができた. この研究に関する論文を現在執筆中である.

In this paper, the regularity and existence of Lp viscosity solutions for the side damage problem of completely nonlinear one-dimensional equations with respect to unbounded coefficients of lower order differential terms are studied. There are many studies on the problem of dispersion and non-dispersion, and there are many studies on the problem of non-dispersion. Duque's method for solving the lateral obstacle problem of the most pure non-dispersive equations is presented in this paper. The regularity of the viscous solution is shown in the case where the regularity of the obstacle is low. The invariance of the parallel movement of the equations is necessary. The coefficient of the equation is difficult to apply in the case where the equation is maintained. The second order differential coefficient is not bounded, and the first order differential coefficient is not bounded. It is proved that the weak Harnack inequality is applied to the problem of lateral damage, the upper and lower obstacles touch each other, the viscous optimal solution and the viscous inferior solution are different, and the vibration is evaluated. In this case, the Lp viscosity solution has the same degree of continuity. The existence of Lp viscous solution is demonstrated by the existence of a constant number of obstacles. This research is now in submission. This thesis is co-authored by Professor Shigeaki Koike. In this paper, the Lp viscosity solution of the completely non-linear equation is studied, and the regularity and existence of the solution are obtained. The results of the spatial differentiation are as follows: The integral domain of the weak Harnack inequality of radiation type is the minimum value of the domain and the time of the domain. The method of Shahgholian (2008) is referenced and the spatial differentiation of Lp viscosity solution is discussed. In the above study, the two kinds of obstacles are connected to each other, and the two kinds of obstacles are connected to each other. This paper is now in writing.