関数不等式に関連する変分問題及び楕円型方程式の研究

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今年度は劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点に関する漸近挙動の研究を行った。Neumann型の問題を考察し、領域のスケールに関するパラメータをゼロ及び無限大に近づけた際の臨界点の挙動についての研究を行った。劣臨界Trudinger-Moser型汎関数の正値臨界点はある非局所楕円型方程式の正値解になっており、正値臨界点の漸近挙動の解析はこの方程式の正値解の漸近挙動の解析となる。冪型の非線形項を持つ楕円型方程式におけるこのような研究は数多く行われてきたが、指数型非線形項においては現在まで行われていなかった。この研究において、まずパラメータをゼロに近づけた場合、全ての臨界点がある定数に漸近していくことが得られた。ただし、この結果は冪型非線形項の場合と比較すると少し弱い結果となっている。次に、領域を無限大にした場合の漸近挙動に関しては、全空間Trudinger-Moser不等式の変分問題と関係があるという結果を得た。全空間の変分問題における結果で、Trudinger-Moser型汎関数の指数の大きさが達成可能性に影響する、とうものがあり、今回考察した問題でも同様に指数によって漸近挙動が変わるという結果を得た。具体的には、指数が大きい場合、正値臨界点は全空間変分問題の最大化関数に漸近し、指数が小さい場合はゼロに漸近していくというものである。全空間問題と関連して、このように冪型非線形項では起こらない結果を得ることができた。今年度は研究集会において3件の講演をし、研究成果の発表を行った。