Trudinger-Moser不等式に関連する変分問題とコンパクト性の研究

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Trudinger-Moser不等式の性質をSobolev不等式の性質の連続極限としてみることができるか、という研究を行った。Sobolev不等式およびTrudinger-Moser不等式はそれぞれOrlicz 空間への埋め込みの意味で最良であるが、一方でSobolev不等式において可積分指数に関する極限操作を施してもTrudinger-Moser不等式は得られないことが知られている。今回の研究ではSobolev不等式に適当な定数倍と低階項を加えることにより、Trudinger-Moser不等式と関係の深い幾つかの性質を持つ臨界Sobolev型汎関数を構築した。この汎関数はAlvino不等式、またはradial lemmaと呼ばれる不等式をもとに構築した汎関数である。可積分指数に関する極限操作に関して、汎関数自身の極限はTrudinger-Moser汎関数になり、その上汎関数の集中レベルにおいてもTrudinger-Moser汎関数の集中レベルに収束するような臨界Sobolev型の汎関数を構成した。加えてこの構成した汎関数の最大化問題における最良定数に関して、下半連続性が成り立つことも示した。今回得られた研究結果に関して、国内、国外での研究集会にて発表を行った。