Tamagawazahlen, p-adische Regulatoren und spezielle Werte von L-Funktionen

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Die Bloch-Kato-Vermutung stellt einen Zusammenhang zwischen speziellen Werten von L-Funktionen und kohomologischen Invarianten einer Varietät her. Ein Spezialfall ist die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Damit stellt die Bloch-Kato-Vermutung eine zentrale Leitfrage der arithmetischen Geometrie dar. In den wenigen bekannten Fällen – zyklotomische Körper, gewisse CM-elliptische Kurven, Modulformen und die bekannten Fälle von Birch und Swinnerton- Dyer – hat die L-Funktion immer Verschwindungsordnung ≤ 1, und die Beweise beruhen wesentlich auf einer Hauptvermutung in der Iwasawatheorie.Ein langfristiges Ziel von Projekt I ist ein Beweis der Tamagawazahl-Vermutung für allgemeine Zahlkörper. In diesem Fall hat Borel bereits den Regulator bis auf eine rationale Zahl mit den Werten der Dedekind-Zetafunktion identifiziert. Es stehen viele potenzielle Zutaten in der Literatur bereit, ohne dass es bisher gelungen wäre, sie zu einem Beweis zusammenzuführen.Die allgemeine Strategie besteht in der Konstruktion von speziellen Elementen, deren p-adische Regulatoren berechnet werden können. Dies geschieht bisher meist mittels der Theorie der Polylogarithmen (vergleiche auch Projekt II). Wir wollen statt dessen Borels Zugang weiterverfolgen und so auch Fälle von höherem Rang angreifbar machen.Eine entscheidende Rolle in der Tamagawazahlvermutung spielen die expliziten Reziprozitätsgesetze. Hier sollen die Ergebnisse von Colmez und Cherbonnier auf Lubin-Tate Gruppen der Höhe > 1 ausgedehnt werden. Darüber hinaus ist von dem Studium von (Φ,Γ)-Moduln über höher-dimensionalen lokalen Körpern weiterer Aufschluss über diese expliziten Reziprozitätsgesetze zu erwarten.Ein weiteres langfristiges Ziel ist die Weiterentwicklung von nicht-kommutativer Iwasawa-Theorie. Diese ermöglicht im Prinzip die Reduktion weiterer Fälle auf den Rang 1-Fall.