Effiziente Realisierung und quantitative Analyse adaptiver Wavelet-Verfahren zur numerischen Lösung von Operator-Gleichungen

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Die Theorie adaptiver Wavelet-Methoden für lineare und nichtlineare Operator-Gleichungen hat in jüngster Zeit erhebliche Fortschritte gemacht. Erstmals überhaupt konnten Konvergenz und Komplexitäts-Abschätzungen gezeigt werden, die die erreichte Zielgenauigkeit mit der Anzahl der adaptiv erzeugten Freiheitsgrade und dem Rechenaufwand in Beziehung setzen und für eine weite Klasse von Problemen in einem gewissen Sinne asymptotisch optimal sind. Dies sind die ersten Ergebnisse dieser Art überhaupt. Sie legen ein neues algorithmisches Paradigma nahe, in dessen Mittelpunkt die adaptive approximative Anwendung linearer und nichtlinearer Operatoren steht. Das zentrale Anliegen dieses Projektes besteht, abgesehen von der Ausformulierung dieser Konzepte für konkrete repräsentative Problemstellungen, in der Entwicklung einer geeigneten Abbildung des analytischen Rahmens auf ein leistungsfähiges Software-Konzept, welches in seiner Grundstruktur die gesamte Breite der in der Theorie erfassten Problemklasse aufnehmen kann und insbesondere die asymptotischen Eigenschaften möglichst gut quantitativ realisiert. Das avisierte Ergebnis wäre das erste dieser Art. Den damit verbundenen Anforderungen kann nur in enger Verknüpfungder analytischen Grundlagen mit modernen informatischen Konzepten entsprochen werden.